Sektor

Ein Kreisstück zwischen zwei Radien und einem Bogen

Ein Kreissektor ist der Bereich eines Kreises, der von zwei Radien und einem Bogen begrenzt wird. Ein vom Mittelpunkt aus geschnittenes Stück eines runden Kuchens ist ein anschauliches Modell: Die beiden geraden Seiten stehen für Radien, die gekrümmte Seite für den Kreisbogen.

Unterscheide im Bild den Rand von der Fläche. Der Kreisbogen ist nur der gekrümmte Rand. Der Sektor umfasst die gesamte Fläche zwischen den Radien und dem Kreisbogen.

Merkmale eines Sektors

Der Scheitelpunkt eines Sektors liegt im Mittelpunkt des Kreises. Dort treffen sich die beiden Radien und bilden den Mittelpunktswinkel. Der verbindende Kreisbogen schließt den Rand des Sektors.

Bei einem festen Kreis bestimmt der Mittelpunktswinkel, welcher Anteil des Kreises zum Sektor gehört. Ein größerer Winkel wählt einen größeren Anteil aus, ein kleinerer Winkel einen kleineren.

Ist der gewählte Mittelpunktswinkel kleiner als $180^\circ$, heißt der begrenzte Bereich kleiner Sektor. Ist er größer als $180^\circ$, heißt der Bereich großer Sektor. Ein Winkel von genau $180^\circ$ ergibt einen Halbkreis.

Im selben Kreis sind sowohl Bogenlänge als auch Sektorfläche proportional zum Mittelpunktswinkel. Gleiche Mittelpunktswinkel bestimmen dort also gleiche Bogenlängen und gleiche Sektorflächen.

Beziehung zwischen Mittelpunktswinkel und Sektor

Der Mittelpunktswinkel wird im Mittelpunkt des Kreises zwischen den beiden begrenzenden Radien gemessen. Er kann in Grad oder Radiant angegeben werden.

Zum Beispiel entspricht $90^\circ$ einem Viertel einer vollen Umdrehung. Der zugehörige Sektor besitzt daher ein Viertel der Kreisfläche. Ein Sektor mit $180^\circ$ besitzt die Hälfte der Kreisfläche.

Der Zusammenhang ist ein Verhältnis von Teil zu Ganzem. Ist der Mittelpunktswinkel $\theta$ in Grad angegeben, beträgt das Verhältnis von Sektorfläche zu Kreisfläche $\frac{\theta}{360^\circ}$. Ist $\theta$ in Radiant angegeben, lautet das Verhältnis $\frac{\theta}{2\pi}$.

Sektoren in verschiedenen Zusammenhängen erkennen

Die Geometrie eines Sektors beschreibt einen überstrichenen Bereich bei einer Drehung um einen festen Winkel. Ein idealisierter Rasensprenger mit Reichweite $r$ und Schwenkwinkel $\theta$ deckt beispielsweise einen Sektor ab, bevor Hindernisse, Wind und eine ungleichmäßige Wasserverteilung berücksichtigt werden.

Sektoren erscheinen auch in Kreisdiagrammen und radialen Schablonen. Das Verhältnis des Mittelpunktswinkels bestimmt den zugehörigen Anteil der gesamten Kreisscheibe. Die Geometrie allein bestimmt jedoch weder die Belastung noch den Wirkungsgrad einer Maschine.

Auf einem gleichmäßig eingeteilten Zifferblatt begrenzen zwei benachbarte Stundenmarkierungen einen von $12$ gleich großen Sektoren. Jeder besitzt einen Mittelpunktswinkel von $30^\circ$. Ein vom Mittelpunkt aus geschnittenes Stück einer runden Pizza oder eines Kuchens ist ein weiteres vertrautes Modell.

Ein idealisierter Rasensprenger mit Radius $6\text{ m}$ und Schwenkwinkel $90^\circ$ bewässert ein Viertel einer Kreisscheibe: