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Ein Bogen ist eine gekrümmte Linie, ein Kreissegment dagegen die Fläche zwischen Bogen und Sehne. Für die Bogenlänge verwendest du Längeneinheiten wie Zentimeter. Die Segmentfläche misst du in Flächeneinheiten wie Quadratzentimeter.
Wähle zuerst den begrenzenden Bogen, bevor du das Segment einordnest. Ein kleiner Bogen begrenzt weniger als die halbe Kreisfläche. Der große Bogen begrenzt den Rest. Ist die Sehne ein Durchmesser, sind beide Flächen gleich groß.
Bei festem Radius unterscheidet der Mittelpunktswinkel die beiden Segmente:
Das kleine Kreissegment entsteht, wenn wir die Dreiecksfläche von der Sektorfläche abziehen.
Vergleiche Bogenlänge und Segmentfläche, bevor du die Formeln verwendest.
| Größe | Formel | Einheitentyp |
|---|---|---|
| Bogenlänge | Länge, zum Beispiel oder | |
| Segmentfläche |
Nach dem Einsetzen der beiden Flächenformeln gilt:
Dabei ist der kleine Mittelpunktswinkel in Grad und der Kreisradius.
Für ein großes Kreissegment verwenden wir zunächst den ergänzenden kleinen Winkel und ziehen dann die kleine Segmentfläche von der gesamten Kreisfläche ab:
Im dargestellten Sektor mit 90 Grad verbindet die Sehne die Endpunkte zweier senkrechter Radien. Die Fläche zwischen Bogen und Sehne bleibt übrig, wenn du das rechtwinklige Dreieck aus dem Sektor entfernst.
Verwende dieselbe Viertelkreisform wie in der Zeichnung, aber mit neuen Maßen: Mittelpunktswinkel und Radius . Berechne Sektorfläche und Dreiecksfläche zunächst getrennt.
Schritt 1: Sektorfläche berechnen
Schritt 2: Dreiecksfläche berechnen
Für einen Winkel ist das gebildete Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem beide senkrechten Seiten Radien sind:
Schritt 3: Segmentfläche berechnen
Aufgabe eins fragt nach der Segmentfläche, Aufgabe zwei nach dem Winkel zu einer Fläche. Aufgabe drei bestimmt den gefüllten Tankquerschnitt. Miss die Wassertiefe vom Boden aus, um den Abstand zwischen Oberfläche und Mittelpunkt zu finden.
Ein Kreis hat den Radius . Bestimme die Fläche des Segments zu einem Mittelpunktswinkel von .
Ein kleines Kreissegment hat in einem Kreis mit Radius eine Fläche von ungefähr . Bestimme den zugehörigen kleinen Mittelpunktswinkel.
Ein liegender zylindrischer Tank mit Radius ist vom Boden aus bis zu einer Höhe von mit Wasser gefüllt. Bestimme die vom Wasser eingenommene Querschnittsfläche.
Berechne ein kleines Segment als Sektor minus Dreieck. Ist die Fläche gegeben, suchst du den Winkel, der in der Formel diese Fläche liefert. Zeichne beim Tank zuerst die Sehne an der Wasseroberfläche.
Lösung 1
Gegeben: ,
Sektorfläche berechnen:
Dreiecksfläche berechnen:
Segmentfläche berechnen:
Lösung 2
Gegeben: Segmentfläche ,
Verwendet wird:
Bestimme den Winkel durch Eingrenzen eines Intervalls. Die kleine Segmentfläche wächst mit dem Winkel. Einsetzen mit dem Taschenrechner im Gradmodus ergibt:
| Versuchswinkel | Berechnete Fläche |
|---|---|
Die gesuchte Fläche liegt zwischen den Ergebnissen für 110 und 130 Grad. Probiere die Intervallmitte von 120 Grad. Ihre Fläche stimmt bis zur vierten Nachkommastelle mit der Vorgabe überein:
Das stimmt nach dem Runden mit der angegebenen Fläche überein. Der Mittelpunktswinkel beträgt daher ungefähr .
Lösung 3
Im Tankquerschnitt bildet die Wasseroberfläche eine Sehne. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche ist der Radius abzüglich der Wassertiefe:
Ziehe Radien zu beiden Endpunkten der Wasseroberfläche. Der halbe Sektorwinkel sei . Das rechtwinklige Dreieck auf der rechten Seite ergibt:
Der Sektor mit vollem Winkel hat die Fläche . Die abzuziehende Dreiecksfläche ist die halbe Wasserbreite mal Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche:
Ziehe die beiden Flächen voneinander ab. Setze den Winkel im Bogenmaß ein und runde erst das Endergebnis:
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| Fläche, zum Beispiel oder |
