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Schneidet eine gerade Linie ein Stück von einer kreisförmigen Fläche ab, entsteht die Form eines Kreissegments. Man sieht sie etwa am Rand eines angeschnittenen runden Kuchens.
Eine Sehne und einer der beiden Bögen zwischen ihren Endpunkten begrenzen ein Kreissegment. Der kleine Bogen begrenzt das kleine Kreissegment, der verbleibende große Bogen das große Kreissegment. Ein Durchmesser ist der Grenzfall, in dem beide Segmente Halbkreise sind.
Zuerst trennen wir zwei Begriffe, die leicht verwechselt werden:
Der entscheidende Unterschied:
Je nachdem, welcher der beiden Bögen zur Sehne gehört, entsteht ein kleines oder ein großes Kreissegment:
Kurz zusammengefasst:
Das kleine Kreissegment entsteht, wenn wir vom Kreissektor das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne abziehen.
Warum ist das nicht die Bogenlängenformel?
Bogenlänge ist (Einheiten: cm, m usw.)
Segmentfläche Bogenlänge (da das Segment eine -Fläche und keine -Linie ist)
Setzen wir beide Flächenformeln ein, ergibt sich:
Dabei ist der kleine Mittelpunktswinkel in Grad und der Kreisradius.
Für ein großes Kreissegment verwenden wir zunächst den ergänzenden kleinen Winkel und ziehen dann die kleine Segmentfläche von der gesamten Kreisfläche ab:
Die Einheiten zeigen den Unterschied:
Die Darstellung zeigt Sektor, Dreieck und das dazwischen verbleibende Segment:
Wir berechnen nun die Segmentfläche für und .
Schritt : Sektorfläche berechnen
Schritt : Dreiecksfläche berechnen
Für einen Winkel ist das gebildete Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem beide senkrechten Seiten Radien sind:
Schritt : Segmentfläche berechnen
Ein Kreis hat den Radius . Bestimme die Fläche des Segments zu einem Mittelpunktswinkel von .
Ein kleines Kreissegment hat in einem Kreis mit Radius eine Fläche von ungefähr . Bestimme den zugehörigen kleinen Mittelpunktswinkel.
Ein liegender zylindrischer Tank mit Radius ist vom Boden aus bis zu einer Höhe von mit Wasser gefüllt. Bestimme die vom Wasser eingenommene Querschnittsfläche.
Lösungsschritte:
Gegeben: ,
Sektorfläche berechnen:
Dreiecksfläche berechnen:
Segmentfläche berechnen:
Lösungsschritte:
Gegeben: Segmentfläche ,
Verwendet wird:
Lösungsschritte:
Gegeben: Tankradius = , Wasserhöhe =
Da die Wasserhöhe () kleiner als der Radius () ist, bildet der gefüllte Teil des Kreisquerschnitts ein kleines Kreissegment.
Für einen liegenden Zylinder verwenden wir die Kreissegmentformel mit der Segmenthöhe.
Löse die Gleichung numerisch im Intervall für kleine Winkel . Das ergibt:
Überprüfung:
Das stimmt nach dem Runden mit der angegebenen Fläche überein. Der Mittelpunktswinkel beträgt daher ungefähr .
Die Segmenthöhe vom Tankboden ist:
Für die gefüllte Querschnittsfläche gilt:
Der von gelieferte Winkel wird dabei im Bogenmaß eingesetzt, wie es die Flächenformel verlangt.
Ersatzwerte:
Gefüllte Querschnittsfläche berechnen:
