Kreissehnen

Zwei Punkte auf der Kreislinie geradlinig verbinden

Eine Sehne ist eine Strecke mit $beiden Endpunkten auf dem Kreis$ . Eine gespannte Schnur zwischen zwei Punkten des Kreisrandes ist ein Modell dafür. Eine Sehne, die kein Durchmesser ist, teilt die Kreisscheibe in ein kleines und großes Kreissegment. Ein Durchmesser erzeugt zwei gleich große Halbkreise.

Sehnen in einem Kreis

Vergleiche Sehnen mit unterschiedlichen Längen und Abständen vom Mittelpunkt.

Nützliche Sehnenkonfigurationen

Die folgenden Konfigurationen helfen dabei, Sehnenaufgaben zu ordnen:

$Sehne ohne Durchmesser$ : Sie verläuft nicht durch den Mittelpunkt und ist kürzer als der Durchmesser desselben Kreises.
$Durchmesser$ : Diese Sehne verläuft durch den Mittelpunkt. Sie ist die längste Sehne und teilt die Kreisscheibe in zwei Halbkreise.
$Parallele Sehnen$ : Die Trägergeraden von zwei oder mehr Sehnen sind parallel. Ihre Längen sind genau dann gleich, wenn auch ihre senkrechten Abstände vom Mittelpunkt gleich sind.

Beziehung zwischen Sehne und Abstand zur Mitte

Gemeint ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne. $Das Lot vom Mittelpunkt halbiert die Sehne$ . So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $d$ und $l/2$ sowie der Hypotenuse $r$ .

Ist $d$ dieser senkrechte Abstand, $r$ der Radius und $l$ die Sehnenlänge, folgt aus dem Satz des Pythagoras:

d^2+(l/2)^2=r^2\quad\Longrightarrow\quad l=2\sqrt{r^2-d^2}

Diese Formel zeigt, dass, wenn $d = 0$ (die Sehne geht durch die Mitte), $l = 2r$ der Durchmesser ist.

Zusammenhang zwischen Sehnenlänge und Mittelpunktabstand

Sehnen mit unterschiedlichem Abstand vom Kreismittelpunkt.

Eigenschaften gleichlanger Sehnen

Sehnen mit $gleicher Länge im selben Kreis$ haben denselben senkrechten Abstand vom Mittelpunkt. Umgekehrt ergeben gleiche senkrechte Abstände auch gleiche Sehnenlängen.

Im ersten Bild haben beide Durchmesser die Länge $CD=EF=8$ . Die Sehne $AB$ liegt $2$ Einheiten vom Mittelpunkt entfernt, also gilt:

AB=2\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{12}=4\sqrt3<8

Sehnensatz

Schneiden sich die Sehnen $AB$ und $CD$ im Inneren des Kreises im Punkt $P$ , dann gilt:

AP \times PB = CP \times PD

Diese Beziehung heißt Sehnensatz.

Ergänze die Strecken $AC$ und $DB$ . Die Winkel $APC$ und $DPB$ sind Scheitelwinkel. Die Winkel $PAC$ und $PDB$ stehen über demselben Bogen $BC$ . Beide Dreiecke sind daher $ähnlich$ , also gilt:

\frac{AP}{PD}=\frac{CP}{PB}\quad\Longrightarrow\quad AP\cdot PB=CP\cdot PD

Sehnensatz und ähnliche Dreiecke

Zwei Sehnen und zwei Hilfsstrecken zeigen die ähnlichen Dreiecke.

AP\cdot PB=6\times8=48=4\times12=CP\cdot PD

Übungsaufgaben

Unterscheide die Sehnenlänge vom $senkrechten Abstand zum Mittelpunkt$ . Aufgabe vier nutzt Produkte von Sehnenabschnitten. Bei den anderen Aufgaben rechnest du mit rechtwinkligen Dreiecken.

Ein Kreis hat einen Radius von $13 \text{ cm}$ . Der senkrechte Abstand einer Sehne zum Mittelpunkt beträgt $5 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge der Sehne.
In einem Kreis mit Radius $10 \text{ cm}$ liegt eine Sehne mit der Länge $16 \text{ cm}$ . Bestimme ihren senkrechten Abstand zum Mittelpunkt.
Zwei Sehnen $AB$ und $CD$ im selben Kreis sind $24 \text{ cm}$ beziehungsweise $18 \text{ cm}$ lang. Der Kreisradius beträgt $15 \text{ cm}$ . Bestimme die Differenz ihrer senkrechten Abstände vom Mittelpunkt.
Die Sehnen $PQ$ und $RS$ schneiden sich im Punkt $T$ . Es gilt $PT = 6 \text{ cm}$ , $TQ = 8 \text{ cm}$ und $RT = 4 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge von $TS$ .
Ein Kreis hat einen Durchmesser von $26 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge einer Sehne, deren senkrechter Abstand vom Mittelpunkt $12 \text{ cm}$ beträgt.

Ausführliche Lösungen

Verwende die $halbe Sehnenlänge$ als Kathete des rechtwinkligen Dreiecks. Verdopple das Ergebnis, um die ganze Sehnenlänge zu erhalten.

$Lösung 1$ : $24 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 13 \text{ cm}$ , $d = 5 \text{ cm}$

Mit der Formel für die Sehnenlänge:

l = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$Lösung 2$ : $6 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 10 \text{ cm}$ , $l = 16 \text{ cm}$

Mit der Formel für die Sehnenlänge:

16 = 2\sqrt{10^2 - d^2}

$Lösung 3$ : $3 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 15 \text{ cm}$ , $l_1 = 24 \text{ cm}$ , $l_2 = 18 \text{ cm}$

Den Abstand der ersten Sehne ermitteln:

24 = 2\sqrt{15^2 - d_1^2}

Den Abstand der zweiten Sehne ermitteln:

18 = 2\sqrt{15^2 - d_2^2}

Distanzunterschied: $d_2 - d_1 = 12 - 9 = 3 \text{ cm}$

$Lösung 4$ : $12 \text{ cm}$

Gegeben: $PT$ = $6 \text{ cm}$ , $TQ$ = $8 \text{ cm}$ , $RT$ = $4 \text{ cm}$

Mit dem Sehnensatz:

PT \times TQ = RT \times TS

$Lösung 5$ : $10 \text{ cm}$

Gegeben: Durchmesser = $26 \text{ cm}$ , also $r = 13 \text{ cm}$ , $d = 12 \text{ cm}$

Mit der Formel für die Sehnenlänge:

l = 2\sqrt{r^2 - d^2}

Zwei Punkte auf der Kreislinie geradlinig verbinden

Sehnen in einem Kreis

Vergleiche Sehnen mit unterschiedlichen Längen und Abständen vom Mittelpunkt.

Nützliche Sehnenkonfigurationen

Die folgenden Konfigurationen helfen dabei, Sehnenaufgaben zu ordnen:

$Sehne ohne Durchmesser$ : Sie verläuft nicht durch den Mittelpunkt und ist kürzer als der Durchmesser desselben Kreises.
$Durchmesser$ : Diese Sehne verläuft durch den Mittelpunkt. Sie ist die längste Sehne und teilt die Kreisscheibe in zwei Halbkreise.
$Parallele Sehnen$ : Die Trägergeraden von zwei oder mehr Sehnen sind parallel. Ihre Längen sind genau dann gleich, wenn auch ihre senkrechten Abstände vom Mittelpunkt gleich sind.

Beziehung zwischen Sehne und Abstand zur Mitte

Ist $d$ dieser senkrechte Abstand, $r$ der Radius und $l$ die Sehnenlänge, folgt aus dem Satz des Pythagoras:

d^2+(l/2)^2=r^2\quad\Longrightarrow\quad l=2\sqrt{r^2-d^2}

Diese Formel zeigt, dass, wenn $d = 0$ (die Sehne geht durch die Mitte), $l = 2r$ der Durchmesser ist.

Zusammenhang zwischen Sehnenlänge und Mittelpunktabstand

Sehnen mit unterschiedlichem Abstand vom Kreismittelpunkt.

Eigenschaften gleichlanger Sehnen

Sehnen mit $gleicher Länge im selben Kreis$ haben denselben senkrechten Abstand vom Mittelpunkt. Umgekehrt ergeben gleiche senkrechte Abstände auch gleiche Sehnenlängen.

Im ersten Bild haben beide Durchmesser die Länge $CD=EF=8$ . Die Sehne $AB$ liegt $2$ Einheiten vom Mittelpunkt entfernt, also gilt:

AB=2\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{12}=4\sqrt3<8

Sehnensatz

Schneiden sich die Sehnen $AB$ und $CD$ im Inneren des Kreises im Punkt $P$ , dann gilt:

AP \times PB = CP \times PD

Diese Beziehung heißt Sehnensatz.

Ergänze die Strecken $AC$ und $DB$ . Die Winkel $APC$ und $DPB$ sind Scheitelwinkel. Die Winkel $PAC$ und $PDB$ stehen über demselben Bogen $BC$ . Beide Dreiecke sind daher $ähnlich$ , also gilt:

\frac{AP}{PD}=\frac{CP}{PB}\quad\Longrightarrow\quad AP\cdot PB=CP\cdot PD

Sehnensatz und ähnliche Dreiecke

Zwei Sehnen und zwei Hilfsstrecken zeigen die ähnlichen Dreiecke.

AP\cdot PB=6\times8=48=4\times12=CP\cdot PD

Übungsaufgaben

Unterscheide die Sehnenlänge vom $senkrechten Abstand zum Mittelpunkt$ . Aufgabe vier nutzt Produkte von Sehnenabschnitten. Bei den anderen Aufgaben rechnest du mit rechtwinkligen Dreiecken.

Ein Kreis hat einen Radius von $13 \text{ cm}$ . Der senkrechte Abstand einer Sehne zum Mittelpunkt beträgt $5 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge der Sehne.
In einem Kreis mit Radius $10 \text{ cm}$ liegt eine Sehne mit der Länge $16 \text{ cm}$ . Bestimme ihren senkrechten Abstand zum Mittelpunkt.
Zwei Sehnen $AB$ und $CD$ im selben Kreis sind $24 \text{ cm}$ beziehungsweise $18 \text{ cm}$ lang. Der Kreisradius beträgt $15 \text{ cm}$ . Bestimme die Differenz ihrer senkrechten Abstände vom Mittelpunkt.
Die Sehnen $PQ$ und $RS$ schneiden sich im Punkt $T$ . Es gilt $PT = 6 \text{ cm}$ , $TQ = 8 \text{ cm}$ und $RT = 4 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge von $TS$ .
Ein Kreis hat einen Durchmesser von $26 \text{ cm}$ . Bestimme die Länge einer Sehne, deren senkrechter Abstand vom Mittelpunkt $12 \text{ cm}$ beträgt.

Ausführliche Lösungen

Verwende die $halbe Sehnenlänge$ als Kathete des rechtwinkligen Dreiecks. Verdopple das Ergebnis, um die ganze Sehnenlänge zu erhalten.

$Lösung 1$ : $24 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 13 \text{ cm}$ , $d = 5 \text{ cm}$

Mit der Formel für die Sehnenlänge:

l = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$Lösung 2$ : $6 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 10 \text{ cm}$ , $l = 16 \text{ cm}$

Mit der Formel für die Sehnenlänge:

16 = 2\sqrt{10^2 - d^2}

$Lösung 3$ : $3 \text{ cm}$

Gegeben: $r = 15 \text{ cm}$ , $l_1 = 24 \text{ cm}$ , $l_2 = 18 \text{ cm}$

Den Abstand der ersten Sehne ermitteln:

24 = 2\sqrt{15^2 - d_1^2}

Den Abstand der zweiten Sehne ermitteln:

18 = 2\sqrt{15^2 - d_2^2}

Distanzunterschied: $d_2 - d_1 = 12 - 9 = 3 \text{ cm}$

$Lösung 4$ : $12 \text{ cm}$

Gegeben: $PT$ = $6 \text{ cm}$ , $TQ$ = $8 \text{ cm}$ , $RT$ = $4 \text{ cm}$

Mit dem Sehnensatz:

PT \times TQ = RT \times TS

$Lösung 5$ : $10 \text{ cm}$

Gegeben: Durchmesser = $26 \text{ cm}$ , also $r = 13 \text{ cm}$ , $d = 12 \text{ cm}$

Mit der Formel für die Sehnenlänge:

l = 2\sqrt{r^2 - d^2}