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Eine Sehne ist eine Strecke, deren Endpunkte auf einem Kreis liegen. Eine gespannte Schnur zwischen zwei Punkten des Kreisrandes ist ein anschauliches Modell. Jede Sehne bestimmt einen kleinen und einen großen Kreisbogen und teilt die Kreisscheibe in ein kleines und ein großes Kreissegment.
Unter den Sehnen desselben Kreises ist eine weiter vom Mittelpunkt entfernte Sehne kürzer. Die längste Sehne verläuft durch den Mittelpunkt und heißt Durchmesser.
Die folgenden Konfigurationen helfen dabei, Sehnenaufgaben zu ordnen:
Sehne ohne Durchmesser: Sie verläuft nicht durch den Mittelpunkt und ist kürzer als der Durchmesser desselben Kreises.
Durchmesser: Diese Sehne verläuft durch den Mittelpunkt. Sie ist die längste Sehne und teilt die Kreisscheibe in zwei Halbkreise.
Parallele Sehnen: Die Trägergeraden von zwei oder mehr Sehnen sind parallel. Ihre Längen sind genau dann gleich, wenn auch ihre senkrechten Abstände vom Mittelpunkt gleich sind.
Gemeint ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne. Das Lot vom Mittelpunkt halbiert die Sehne. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten und sowie der Hypotenuse .
Ist dieser senkrechte Abstand, der Radius und die Sehnenlänge, folgt aus dem Satz des Pythagoras:
Diese Formel zeigt, dass, wenn (die Sehne geht durch die Mitte), der Durchmesser ist.
Gleich lange Sehnen desselben Kreises haben denselben senkrechten Abstand vom Mittelpunkt. Umgekehrt sind Sehnen mit demselben senkrechten Abstand vom Mittelpunkt gleich lang.
Diese Eigenschaft ist sehr nützlich bei der Lösung verschiedener Kreisgeometrieprobleme. Wenn zwei Sehnen die gleiche Länge haben, dann gilt:
Schneiden sich die Sehnen und im Inneren des Kreises im Punkt , dann gilt:
Diese Beziehung heißt Sehnensatz.
Ein Kreis hat einen Radius von . Der senkrechte Abstand einer Sehne zum Mittelpunkt beträgt . Bestimme die Länge der Sehne.
In einem Kreis mit Radius liegt eine Sehne mit der Länge . Bestimme ihren senkrechten Abstand zum Mittelpunkt.
Zwei Sehnen und im selben Kreis sind beziehungsweise lang. Der Kreisradius beträgt . Bestimme die Differenz ihrer senkrechten Abstände vom Mittelpunkt.
Die Sehnen und schneiden sich im Punkt . Es gilt , und . Bestimme die Länge von .
Ein Kreis hat einen Durchmesser von . Bestimme die Länge einer Sehne, deren senkrechter Abstand vom Mittelpunkt beträgt.
Antwort:
Gegeben: ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
Antwort:
Gegeben: ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
Antwort:
Gegeben: , ,
Antwort:
Gegeben: PT = , TQ = , RT =
Mit dem Sehnensatz:
Antwort:
Gegeben: Durchmesser = , also ,
Den Abstand der ersten Sehne ermitteln:
Den Abstand der zweiten Sehne ermitteln:
Distanzunterschied:
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
