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Der Mittelpunktswinkel bestimmt, welchen Anteil des Kreises der Sektor einnimmt. Ein größerer Winkel erzeugt bei gleichem Radius einen größeren Sektor, ein kleinerer Winkel einen kleineren. Genau diese Proportionalität verwenden wir bei der Flächenberechnung.
Im selben Kreis gehören zu gleich großen Mittelpunktswinkeln gleich große Sektorflächen. Die beiden Radien bilden die Winkelschenkel, der Mittelpunkt ist der Scheitel. Teilt man eine volle Umdrehung in acht gleiche Winkel, erhält jeder Sektor ein Achtel der Kreisfläche.
Ein Vollwinkel gehört zur gesamten Kreisfläche. Bei einem Sektor ergibt sich die Fläche aus dem Mittelpunktswinkel, und die Winkeleinheit entscheidet, welche Formel gilt:
Für Winkel in Grad:
Für Winkel im Bogenmaß:
In beiden Formeln bedeuten die Variablen:
Bei festem Radius ist die Sektorfläche proportional zum Winkel. Verdoppelt sich der Winkel, verdoppelt sich die Fläche. Halbiert sich der Winkel, halbiert sich auch die Fläche.
| Mittelpunktswinkel | Kreisanteil | Sektorfläche |
|---|---|---|
Prüfe zuerst die Lage des Scheitels: Beim Mittelpunktswinkel liegt er im Kreismittelpunkt, beim Umfangswinkel dagegen auf der Kreislinie. Außerdem müssen beide Schenkel des Mittelpunktswinkels Radien sein.
Mögliche Bestimmungen:
Ist der Winkel bekannt, lassen sich daraus die zugehörige Sektorfläche und die Bogenlänge berechnen.
Das Gradmaß eines Bogens entspricht dem Mittelpunktswinkel über diesem Bogen. Es unterscheidet sich von der Bogenlänge: Bei gleichem Winkel erzeugt ein größerer Radius einen längeren Bogen. Im selben Kreis gehören zu gleichen Winkeln kongruente Bögen und Sektoren. Gleiche Sektorflächen bedeuten auch gleiche Winkel.
Bei benachbarten Sektoren ohne Überlappung addieren sich Winkel, Bogenlängen und Flächen. Die Sektoren mit 45 und 90 Grad in der Zeichnung ergeben zusammen beispielsweise einen Sektor mit 135 Grad:
Je nach gegebenen Größen lässt sich der Mittelpunktswinkel auf drei Arten bestimmen:
Aus Sektorfläche und Radius:
Aus Bogenlänge und Radius:
Aus gleicher Kreisteilung:
Dabei bezeichnet:
Welche Formel passt, entscheidet die Aufgabenangabe: Fläche, Bogenlänge oder Anzahl gleicher Teile.
Nimm in der Zeichnung einen Radius von 4 Einheiten an. Ist die Sektorfläche mit Flächeneinheiten gegeben, stellst du die Flächenformel nach dem Winkel um:
Derselbe Sektor hat eine Bogenlänge von Einheiten. Aus der Bogenlängenformel folgt derselbe Winkel:
Beispiele für gleich große Kreisteile:
In jedem Beispiel sind die Teile gleich groß. Deshalb sind auch ihre Mittelpunktswinkel gleich.
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