For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Die folgenden Konfigurationen helfen dabei, Sehnenaufgaben zu ordnen:
Sehne ohne Durchmesser: Sie verläuft nicht durch den Mittelpunkt und ist kürzer als der Durchmesser desselben Kreises.
Durchmesser: Diese Sehne verläuft durch den Mittelpunkt. Sie ist die längste Sehne und teilt die Kreisscheibe in zwei Halbkreise.
Parallele Sehnen: Die Trägergeraden von zwei oder mehr Sehnen sind parallel. Ihre Längen sind genau dann gleich, wenn auch ihre senkrechten Abstände vom Mittelpunkt gleich sind.
Gemeint ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne. Das Lot vom Mittelpunkt halbiert die Sehne. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten und sowie der Hypotenuse .
Ist dieser senkrechte Abstand, der Radius und die Sehnenlänge, folgt aus dem Satz des Pythagoras:
Diese Formel zeigt, dass, wenn (die Sehne geht durch die Mitte), der Durchmesser ist.
Sehnen mit gleicher Länge im selben Kreis haben denselben senkrechten Abstand vom Mittelpunkt. Umgekehrt ergeben gleiche senkrechte Abstände auch gleiche Sehnenlängen.
Im ersten Bild haben beide Durchmesser die Länge . Die Sehne liegt Einheiten vom Mittelpunkt entfernt, also gilt:
Schneiden sich die Sehnen und im Inneren des Kreises im Punkt , dann gilt:
Diese Beziehung heißt Sehnensatz.
Ergänze die Strecken und . Die Winkel und sind Scheitelwinkel. Die Winkel und stehen über demselben Bogen . Beide Dreiecke sind daher ähnlich, also gilt:
Unterscheide die Sehnenlänge vom senkrechten Abstand zum Mittelpunkt. Aufgabe vier nutzt Produkte von Sehnenabschnitten. Bei den anderen Aufgaben rechnest du mit rechtwinkligen Dreiecken.
Ein Kreis hat einen Radius von . Der senkrechte Abstand einer Sehne zum Mittelpunkt beträgt . Bestimme die Länge der Sehne.
In einem Kreis mit Radius liegt eine Sehne mit der Länge . Bestimme ihren senkrechten Abstand zum Mittelpunkt.
Zwei Sehnen und im selben Kreis sind beziehungsweise lang. Der Kreisradius beträgt . Bestimme die Differenz ihrer senkrechten Abstände vom Mittelpunkt.
Die Sehnen und schneiden sich im Punkt . Es gilt , und . Bestimme die Länge von .
Ein Kreis hat einen Durchmesser von . Bestimme die Länge einer Sehne, deren senkrechter Abstand vom Mittelpunkt beträgt.
Verwende die halbe Sehnenlänge als Kathete des rechtwinkligen Dreiecks. Verdopple das Ergebnis, um die ganze Sehnenlänge zu erhalten.
Lösung 1:
Gegeben: ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
Lösung 2:
Gegeben: ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
Lösung 3:
Gegeben: , ,
Den Abstand der ersten Sehne ermitteln:
Den Abstand der zweiten Sehne ermitteln:
Distanzunterschied:
Lösung 4:
Gegeben: = , = , =
Mit dem Sehnensatz:
Lösung 5:
Gegeben: Durchmesser = , also ,
Mit der Formel für die Sehnenlänge:
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
