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Eine gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die zwei Kreise berührt. Es gibt zwei Arten gemeinsamer Tangenten:
Eine äußere gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die beide Kreise berührt und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte nicht schneidet.
Für zwei Kreise mit:
Länge der äußeren gemeinsamen Tangente:
Diese Strecke hat eine positive Länge, wenn gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von innen und besitzen nur die Tangente durch den Berührpunkt.
Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Gesucht ist die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente.
Lösung:
Daher beträgt die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente .
Eine innere gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die beide Kreise von gegenüberliegenden Seiten berührt und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte schneidet.
Länge der inneren gemeinsamen Tangente:
Bedingung: Ein inneres gemeinsames Tangentenstück hat positive Länge, wenn gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen: Die beiden Berührpunkte fallen zusammen, das Tangentenstück hat die Länge null und es bleibt nur eine innere gemeinsame Tangente.
Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Gesucht ist die Länge der inneren gemeinsamen Tangente.
Lösung:
Zuerst prüfen wir, ob eine innere gemeinsame Tangente existiert:
Da die Bedingung erfüllt ist, gilt:
Die innere gemeinsame Tangente ist daher lang.
Wenn zwei Kreise gleiche Radien () haben, gibt es besondere Eigenschaften:
Für :
Berechne für die folgenden Kreise die Länge der äußeren und der inneren gemeinsamen Tangente:
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius .
Lösung:
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius .
Lösung:
Zwei Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Bestimme:
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius . Berechne beide Tangentenlängen.
Zwei gleich große Kreise haben jeweils den Radius . Ihre innere gemeinsame Tangente ist lang. Bestimme den Abstand der Mittelpunkte.
Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , Kreis den Mittelpunkt und den Radius . Die äußere gemeinsame Tangente ist lang. Bestimme .
Gib die Bedingungen an, unter denen zwei Kreise folgende Anzahl gemeinsamer Tangenten besitzen:
Gemeinsame Tangentenlängen berechnen
Kreise mit unterschiedlichen Mittelpunkten
Mittelpunktabstand aus der inneren Tangente bestimmen
Gegeben: ,
Gesuchten Wert bestimmen:
Gegeben: , , ,
Bedingungen für die Anzahl gemeinsamer Tangenten
Der Abstand der Mittelpunkte sei . Für zwei verschiedene, nicht deckungsgleiche Kreise gilt die vollständige Einteilung:
| Bedingung für den Mittelpunktabstand | Gemeinsame Tangenten | Lage der Kreise |
|---|---|---|
| außen getrennt |
| äußere Berührung |
| Schnitt in zwei Punkten |
| innere Berührung |
| ein Kreis liegt vollständig im anderen |
Die gesuchten Bedingungen stehen somit in den ersten drei Zeilen. Deckungsgleiche Kreise mit und bilden einen Sonderfall mit unendlich vielen gemeinsamen Tangenten.
