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Eine äußere gemeinsame Tangente berührt beide Kreise, ohne die Verbindungsstrecke ihrer Mittelpunkte zu schneiden.
Zeichne im ersten Bild die Hilfsstrecke parallel zur Tangente. Für entspricht die senkrechte Seite der Differenz der Radien. Außerdem gilt und . Der Winkel bei ist rechtwinklig, deshalb gilt:
Für vertauschst du die Kreisnamen. Eine positive Streckenlänge erfordert . Bei berühren sich die Kreise von innen. Bei und gleichen Radien sind die Kreise deckungsgleich.
Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Gesucht ist die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente.
Lösung:
Daher beträgt die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente .
Eine innere gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die beide Kreise von gegenüberliegenden Seiten berührt und die Verbindungsstrecke der beiden Mittelpunkte schneidet.
Verlängere bei der inneren Tangente den Radius von bis zum Hilfspunkt . Die senkrechte Seite im gezeichneten Dreieck entspricht der Summe der Radien. Mit und folgt:
Bedingung: Ein inneres gemeinsames Tangentenstück hat positive Länge, wenn gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen: Die beiden Berührpunkte fallen zusammen, das Tangentenstück hat die Länge null und es bleibt nur eine innere gemeinsame Tangente.
Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Gesucht ist die Länge der inneren gemeinsamen Tangente.
Lösung:
Zuerst prüfen wir, ob eine innere gemeinsame Tangente existiert:
Da die Bedingung erfüllt ist, gilt:
Die innere gemeinsame Tangente ist daher lang.
Für zwei verschiedene Kreise mit verlaufen die äußeren Tangenten parallel zur Mittelpunktsgeraden. Für schneiden sich die beiden inneren Tangenten im Mittelpunkt der Verbindungsstrecke, stehen aber im Allgemeinen schräg zur Mittelpunktsgeraden. Erst bei steht die einzige verbleibende innere Tangente senkrecht darauf.
Für :
Berechne für die folgenden Kreise die Länge der äußeren und der inneren gemeinsamen Tangente. Notiere zuerst den Abstand der Mittelpunkte und beide Radien: Für die äußere Tangente gilt , für die innere .
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius .
Lösung:
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius .
Lösung:
Die ersten beiden Aufgaben fragen nach Streckenlängen, die dritte nach dem Mittelpunktabstand, die vierte nach einem Radius und die letzte nach der Tangentenanzahl. Wähle je nach Tangentenart die Differenz oder Summe der Radien, bevor du eine Gleichung aufstellst.
Zwei Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Bestimme die Längen des äußeren und des inneren gemeinsamen Tangentenabschnitts.
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , der zweite den Mittelpunkt und den Radius . Berechne beide Tangentenlängen.
Zwei gleich große Kreise haben jeweils den Radius . Ihre innere gemeinsame Tangente ist lang. Bestimme den Abstand der Mittelpunkte.
Kreis hat den Mittelpunkt und den Radius , Kreis den Mittelpunkt und den Radius . Die äußere gemeinsame Tangente ist lang. Bestimme .
Gib die Bedingungen an, unter denen zwei Kreise genau zwei, drei oder vier gemeinsame Tangenten besitzen. Erkläre jeden Fall getrennt.
Lösung 1: Gemeinsame Tangentenlängen berechnen
Lösung 2: Kreise mit unterschiedlichen Mittelpunkten
Lösung 3: Mittelpunktabstand aus der inneren Tangente bestimmen
Gegeben: ,
Gegeben: , , ,
Lösung 5: Bedingungen für die Anzahl gemeinsamer Tangenten
Der Abstand der Mittelpunkte sei . Für zwei verschiedene Kreise, die nicht deckungsgleich sind, gilt die vollständige Einteilung:
| Bedingung für den Mittelpunktabstand | Gemeinsame Tangenten | Lage der Kreise |
|---|---|---|
| außen getrennt | ||
Die gesuchten Bedingungen stehen somit in den ersten drei Zeilen. Deckungsgleiche Kreise mit und bilden einen Sonderfall mit unendlich vielen gemeinsamen Tangenten.
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
| äußere Berührung |
| Schnitt in zwei Punkten |
| innere Berührung |
| ein Kreis liegt vollständig im anderen |
