Umfangswinkel über demselben Bogen
Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf demselben verbleibenden Bogen liegen, also im selben Kreissegment.
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Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf demselben verbleibenden Bogen liegen, also im selben Kreissegment.
Eigenschaft:
Die Punkte und liegen auf derselben Seite der Sehne . Deshalb überspannen und denselben Bogen aus demselben Kreissegment und sind gleich groß.
Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Eigenschaft:
Jeder Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser ist ein rechter Winkel mit .
Eigenschaft: Wenn ein Durchmesser ist, dann
Dieser Zusammenhang ist als Satz des Thales bekannt.
Ein Sehnenviereck hat vier Eckpunkte auf einer Kreislinie. Je zwei gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu .
Eigenschaft: und
In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.
Eigenschaft: (Außenwinkel bei entspricht Innenwinkel bei )
In einem Kreis mit Mittelpunkt beträgt der Mittelpunktswinkel . Gesucht ist der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Lösung:
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
Im Sehnenviereck ist gegeben. Bestimme .
Lösung:
Wir nutzen die Winkelsumme im Sehnenviereck:
Der Punkt liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser . Bestimme .
Lösung:
Da ein Durchmesser ist und auf dem Kreis liegt, gilt nach dem Satz des Thales:
In einem Kreis mit Mittelpunkt gehört zum Mittelpunktswinkel der kleine Bogen . Die Punkte und liegen auf dem großen Bogen . Bestimme:
Im Sehnenviereck gilt:
Die Punkte , und liegen auf einem Kreis. Dabei ist ein Durchmesser und es gilt . Bestimme .
Der Umfangswinkel beträgt . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
Im Sehnenviereck beträgt der Außenwinkel bei . Bestimme den Innenwinkel bei .
Umfangswinkel über demselben Bogen bestimmen
Lösung:
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
Da Umfangswinkel über demselben Bogen gleich groß sind:
Winkel im Sehnenviereck bestimmen
Lösung:
In einem Sehnenviereck gilt
Für Winkel (entgegengesetzt zu ):
Winkel im gleichschenkligen Dreieck mit Durchmesser bestimmen
Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel bestimmen
Lösung:
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel:
Innenwinkel aus dem Außenwinkel bestimmen
Lösung:
In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.
Wenn der Außenwinkel bei beträgt, dann:
Bestimme und .
Für Winkel (entgegengesetzt zu ):
Lösung:
Da ein Durchmesser ist, gilt nach dem Satz von Thales:
Da gilt, ist das Dreieck ein rechtes gleichschenkliges Dreieck.
In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck sind beide Grundwinkel gleich:
Da (Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks):
Das gilt, weil die Eckpunkte und im Sehnenviereck einander gegenüberliegen.