Winkelsätze im Kreis

Umfangswinkel über demselben Bogen

Umfangswinkel über $demselben Bogen$ sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf demselben verbleibenden Bogen liegen, also im selben Kreissegment.

Umfangswinkel über demselben Bogen

Eine Sehne mit zwei Winkeln, deren Scheitel auf demselben Kreisbogen liegen.

$Eigenschaft$ : $\angle ACB = \angle ADB$

Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf derselben Seite der Sehne $AB$ . Deshalb überspannen $\angle ACB$ und $\angle ADB$ denselben Bogen aus demselben Kreissegment und sind gleich groß.

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Der Mittelpunktswinkel ist $doppelt so groß$ wie der Umfangswinkel über demselben Bogen.

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel

= 2 \times

Umfangswinkel für denselben Bogen.

$Eigenschaft$ : $\angle AOB = 2 \times \angle ACB$

Umfangswinkel über einem Durchmesser

Jeder Umfangswinkel über einem $Kreisdurchmesser$ ist ein rechter Winkel mit $90^\circ$ .

Umfangswinkel über einem Durchmesser

Ein Umfangswinkel über einem Durchmesser beträgt immer

90^\circ

$Eigenschaft$ : Wenn $AB$ ein Durchmesser ist, dann $\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$

Dieser Zusammenhang ist als $Satz des Thales$ bekannt.

Winkel im Sehnenviereck

Ein Sehnenviereck hat vier Eckpunkte auf einer Kreislinie. Zwei $gegenüberliegende Winkel$ überspannen Bögen, die zusammen den ganzen Kreis bilden. Jeder Umfangswinkel ist halb so groß wie sein Bogen, also gilt:

\alpha+\gamma=\frac{1}{2}\times360^\circ=180^\circ

Viereck mit gegenüberliegenden Winkeln

Zwei gegenüberliegende Winkel überspannen Bögen, die den Kreis vervollständigen.

Im Bild beträgt Winkel $A$ $100^\circ$ und Winkel $C$ $80^\circ$ . Die Winkel müssen also keine rechten Winkel sein.

100^\circ+80^\circ=180^\circ

Außenwinkel und gegenüberliegender Innenwinkel

Verlängere die Seite $BA$ bis $E$ . Der Außenwinkel $DAE$ bildet mit dem Innenwinkel bei $A$ einen $gestreckten Winkel$ . Auch der Innenwinkel bei $C$ ergänzt den Winkel bei $A$ auf $180^\circ$ .

\varepsilon=180^\circ-\alpha=\gamma

Außenwinkel und gegenüberliegender Innenwinkel

Eine verlängerte Seite bildet einen Außenwinkel, der dem gegenüberliegenden Innenwinkel entspricht.

Winkelsätze anwenden

Jedes Beispiel wendet einen Kreissatz auf eine beschriftete Situation an. Bestimme zuerst, welche $Winkel und welchen Bogen$ der Satz verbindet. Schreibe die Gleichung auf, bevor du Zahlen einsetzt, weil sie zeigt, welche Größe gesucht ist.

Winkelmaße bestimmen

In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ beträgt der Mittelpunktswinkel $\angle AOB = 100^\circ$ . Gesucht ist der Umfangswinkel $\angle ACB$ über demselben Bogen.

$Lösung$ :

Beide Winkel gehören zu $demselben Bogen$ . Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:

\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB

Gegenüberliegende Winkel bestimmen

Im Sehnenviereck $ABCD$ ist $\angle A = 75^\circ$ gegeben. Bestimme $\angle C$ .

$Lösung$ :

Die $gegenüberliegenden Winkel$ im Sehnenviereck ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel:

\angle A + \angle C = 180^\circ

Satz des Thales anwenden

Der Punkt $C$ liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser $AB$ . Bestimme $\angle ACB$ .

$Lösung$ :

Da $AB$ ein Durchmesser ist und $C$ auf dem Kreis liegt, gilt nach dem $Satz des Thales$ :

\angle ACB = 90^\circ

Übungsaufgaben

Bestimme vor dem Rechnen den $überspannten Bogen$ oder das Paar gegenüberliegender Winkel. Bei Durchmesseraufgaben muss der dritte Eckpunkt von beiden Durchmesserenden verschieden sein, damit ein Dreieck entsteht.

In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ gehört zum Mittelpunktswinkel $\angle AOB = 140^\circ$ der kleine Bogen $AB$ . Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf dem großen Bogen $AB$ . Bestimme die Winkelmaße $\angle ACB$ und $\angle ADB$ .
Im Sehnenviereck $PQRS$ gilt:
$\angle P = 85^\circ$
Bestimme $\angle R$ und $\angle S$ .
Die Punkte $A$ , $B$ und $C$ liegen auf einem Kreis. Dabei ist $AB$ ein Durchmesser und es gilt $BC = AC$ . Bestimme $\angle BAC$ .
Der Umfangswinkel beträgt $\angle APB = 35^\circ$ . Bestimme den Mittelpunktswinkel $\angle AOB$ über demselben Bogen.
Im Sehnenviereck $KLMN$ beträgt der Außenwinkel bei $K$ $65^\circ$ . Bestimme den Innenwinkel bei $M$ .

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ : Umfangswinkel über demselben Bogen bestimmen

Visualisierung

Der Mittelpunktswinkel

\angle AOB = 140^\circ

und die Umfangswinkel stehen über demselben Bogen

AB

$Lösung$ :

Beide Winkel gehören zu $demselben Bogen$ . Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:

\text{Umfangswinkel} = \frac{1}{2} \times \text{Mittelpunktswinkel}

Da Umfangswinkel über demselben Bogen gleich groß sind:

\angle ADB = \angle ACB = 70^\circ

$Lösung 2$ : Winkel im Sehnenviereck bestimmen

$Lösung$ :

In einem Sehnenviereck ergeben gegenüberliegende Winkel zusammen $180^\circ$ .

Für Winkel $R$ (entgegengesetzt zu $P$ ):

\angle P + \angle R = 180^\circ

Für Winkel $S$ (entgegengesetzt zu $Q$ ):

\angle Q + \angle S = 180^\circ

$Lösung 3$ : Winkel im gleichschenkligen Dreieck mit Durchmesser bestimmen

Visualisierung

AB

ist ein Durchmesser,

BC = AC

(gleichschenkliges Dreieck).

$Lösung$ :

Da $AB$ ein Durchmesser ist, gilt nach dem Satz von Thales:

\angle ACB = 90^\circ

Da $BC = AC$ gilt, ist das Dreieck $ABC$ ein rechtes gleichschenkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck sind beide Grundwinkel gleich:

\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ

Da $\angle BAC = \angle ABC$ (Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks):

2 \times \angle BAC = 90^\circ

$Lösung 4$ : Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel bestimmen

$Lösung$ :

Beide Winkel gehören zu $demselben Bogen$ . Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:

\text{Mittelpunktswinkel} = 2 \times \text{Umfangswinkel}

$Lösung 5$ : Innenwinkel aus dem Außenwinkel bestimmen

$Lösung$ :

In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.

Wenn der Außenwinkel bei $K$ $65^\circ$ beträgt, dann:

\angle M = 65^\circ

Das gilt, weil die Eckpunkte $K$ und $M$ im Sehnenviereck $KLMN$ einander gegenüberliegen.

Umfangswinkel über demselben Bogen

Umfangswinkel über $demselben Bogen$ sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf demselben verbleibenden Bogen liegen, also im selben Kreissegment.

Umfangswinkel über demselben Bogen

Eine Sehne mit zwei Winkeln, deren Scheitel auf demselben Kreisbogen liegen.

$Eigenschaft$ : $\angle ACB = \angle ADB$

Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf derselben Seite der Sehne $AB$ . Deshalb überspannen $\angle ACB$ und $\angle ADB$ denselben Bogen aus demselben Kreissegment und sind gleich groß.

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Der Mittelpunktswinkel ist $doppelt so groß$ wie der Umfangswinkel über demselben Bogen.

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel

= 2 \times

Umfangswinkel für denselben Bogen.

$Eigenschaft$ : $\angle AOB = 2 \times \angle ACB$

Umfangswinkel über einem Durchmesser

Jeder Umfangswinkel über einem $Kreisdurchmesser$ ist ein rechter Winkel mit $90^\circ$ .

Umfangswinkel über einem Durchmesser

Ein Umfangswinkel über einem Durchmesser beträgt immer

90^\circ

$Eigenschaft$ : Wenn $AB$ ein Durchmesser ist, dann $\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$

Dieser Zusammenhang ist als $Satz des Thales$ bekannt.

Winkel im Sehnenviereck

\alpha+\gamma=\frac{1}{2}\times360^\circ=180^\circ

Viereck mit gegenüberliegenden Winkeln

Zwei gegenüberliegende Winkel überspannen Bögen, die den Kreis vervollständigen.

Im Bild beträgt Winkel $A$ $100^\circ$ und Winkel $C$ $80^\circ$ . Die Winkel müssen also keine rechten Winkel sein.

100^\circ+80^\circ=180^\circ

Außenwinkel und gegenüberliegender Innenwinkel

Verlängere die Seite $BA$ bis $E$ . Der Außenwinkel $DAE$ bildet mit dem Innenwinkel bei $A$ einen $gestreckten Winkel$ . Auch der Innenwinkel bei $C$ ergänzt den Winkel bei $A$ auf $180^\circ$ .

\varepsilon=180^\circ-\alpha=\gamma

Außenwinkel und gegenüberliegender Innenwinkel

Eine verlängerte Seite bildet einen Außenwinkel, der dem gegenüberliegenden Innenwinkel entspricht.

Winkelsätze anwenden

Winkelmaße bestimmen

In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ beträgt der Mittelpunktswinkel $\angle AOB = 100^\circ$ . Gesucht ist der Umfangswinkel $\angle ACB$ über demselben Bogen.

$Lösung$ :

Beide Winkel gehören zu $demselben Bogen$ . Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:

\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB

Gegenüberliegende Winkel bestimmen

Im Sehnenviereck $ABCD$ ist $\angle A = 75^\circ$ gegeben. Bestimme $\angle C$ .

$Lösung$ :

Die $gegenüberliegenden Winkel$ im Sehnenviereck ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel:

\angle A + \angle C = 180^\circ

Satz des Thales anwenden

Der Punkt $C$ liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser $AB$ . Bestimme $\angle ACB$ .

$Lösung$ :

Da $AB$ ein Durchmesser ist und $C$ auf dem Kreis liegt, gilt nach dem $Satz des Thales$ :

\angle ACB = 90^\circ

Übungsaufgaben

In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ gehört zum Mittelpunktswinkel $\angle AOB = 140^\circ$ der kleine Bogen $AB$ . Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf dem großen Bogen $AB$ . Bestimme die Winkelmaße $\angle ACB$ und $\angle ADB$ .
Im Sehnenviereck $PQRS$ gilt:
$\angle P = 85^\circ$
Bestimme $\angle R$ und $\angle S$ .
Die Punkte $A$ , $B$ und $C$ liegen auf einem Kreis. Dabei ist $AB$ ein Durchmesser und es gilt $BC = AC$ . Bestimme $\angle BAC$ .
Der Umfangswinkel beträgt $\angle APB = 35^\circ$ . Bestimme den Mittelpunktswinkel $\angle AOB$ über demselben Bogen.
Im Sehnenviereck $KLMN$ beträgt der Außenwinkel bei $K$ $65^\circ$ . Bestimme den Innenwinkel bei $M$ .

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ : Umfangswinkel über demselben Bogen bestimmen

Visualisierung

Der Mittelpunktswinkel

\angle AOB = 140^\circ

und die Umfangswinkel stehen über demselben Bogen

AB

$Lösung$ :

Beide Winkel gehören zu $demselben Bogen$ . Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:

\text{Umfangswinkel} = \frac{1}{2} \times \text{Mittelpunktswinkel}

Da Umfangswinkel über demselben Bogen gleich groß sind:

\angle ADB = \angle ACB = 70^\circ

$Lösung 2$ : Winkel im Sehnenviereck bestimmen

$Lösung$ :

In einem Sehnenviereck ergeben gegenüberliegende Winkel zusammen $180^\circ$ .

Für Winkel $R$ (entgegengesetzt zu $P$ ):

\angle P + \angle R = 180^\circ

Für Winkel $S$ (entgegengesetzt zu $Q$ ):

\angle Q + \angle S = 180^\circ

$Lösung 3$ : Winkel im gleichschenkligen Dreieck mit Durchmesser bestimmen

Visualisierung

AB

ist ein Durchmesser,

BC = AC

(gleichschenkliges Dreieck).

$Lösung$ :

Da $AB$ ein Durchmesser ist, gilt nach dem Satz von Thales:

\angle ACB = 90^\circ

Da $BC = AC$ gilt, ist das Dreieck $ABC$ ein rechtes gleichschenkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck sind beide Grundwinkel gleich:

\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ

Da $\angle BAC = \angle ABC$ (Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks):

2 \times \angle BAC = 90^\circ

$Lösung 4$ : Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel bestimmen

$Lösung$ :

Beide Winkel gehören zu $demselben Bogen$ . Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:

\text{Mittelpunktswinkel} = 2 \times \text{Umfangswinkel}

$Lösung 5$ : Innenwinkel aus dem Außenwinkel bestimmen

$Lösung$ :

In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.

Wenn der Außenwinkel bei $K$ $65^\circ$ beträgt, dann:

\angle M = 65^\circ

Das gilt, weil die Eckpunkte $K$ und $M$ im Sehnenviereck $KLMN$ einander gegenüberliegen.