Äußere und innere gemeinsame Tangenten

Gemeinsame Tangenten

Eine gemeinsame Tangente ist eine Gerade, $die zwei Kreise berührt$ . Es gibt zwei Arten gemeinsamer Tangenten:

$Äußere gemeinsame Tangente$ : Eine Gerade, die beide Kreise von derselben Seite berührt
$Innere gemeinsame Tangente$ : Eine Gerade, die beide Kreise von entgegengesetzten Seiten berührt

Äußere gemeinsame Tangente

Eine äußere gemeinsame Tangente berührt beide Kreise, $ohne die Verbindungsstrecke ihrer Mittelpunkte zu schneiden$ .

Äußere gemeinsame Tangente

Zwei äußere gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen.

Längenformel für die äußere gemeinsame Tangente

Zeichne im ersten Bild die Hilfsstrecke $AH$ parallel zur Tangente. Für $r_2\ge r_1$ entspricht die senkrechte Seite $BH$ der $Differenz der Radien$ . Außerdem gilt $AB=d$ und $AH=l$ . Der Winkel bei $H$ ist rechtwinklig, deshalb gilt:

l^2+(r_2-r_1)^2=d^2\quad\Longrightarrow\quad l=\sqrt{d^2-(r_2-r_1)^2}

Für $r_1>r_2$ vertauschst du die Kreisnamen. Eine positive Streckenlänge erfordert $d>|r_2-r_1|$ . Bei $d=|r_2-r_1|>0$ berühren sich die Kreise von innen. Bei $d=0$ und gleichen Radien sind die Kreise deckungsgleich.

Länge der äußeren gemeinsamen Tangente berechnen

Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte $A(-3, 0)$ und $B(3, 0)$ sowie die Radien $1{,}5$ und $2{,}5$ . Gesucht ist die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente.

Kreise mit

r_1 = 1{,}5

und

r_2 = 2{,}5

Visualisierung der äußeren gemeinsamen Tangente.

$Lösung$ :

\begin{aligned} d &= \sqrt{(3-(-3))^2 + (0-0)^2} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \end{aligned}

Daher beträgt die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente $\sqrt{35} \text{ Einheiten}$ .

Innere gemeinsame Tangente

Eine innere gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die beide Kreise von gegenüberliegenden Seiten berührt und die $Verbindungsstrecke der beiden Mittelpunkte$ schneidet.

Innere gemeinsame Tangente

Zwei innere gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen.

Längenformel für die innere gemeinsame Tangente

Verlängere bei der inneren Tangente den Radius von $B$ bis zum Hilfspunkt $H$ . Die senkrechte Seite im gezeichneten Dreieck $AHB$ entspricht der $Summe der Radien$ . Mit $AH=l$ und $AB=d$ folgt:

l^2+(r_1+r_2)^2=d^2

$Bedingung$ : Ein inneres gemeinsames Tangentenstück hat positive Länge, wenn $d > r_1 + r_2$ gilt. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen: Die beiden Berührpunkte fallen zusammen, das Tangentenstück hat die Länge null und es bleibt nur eine innere gemeinsame Tangente.

Länge der inneren gemeinsamen Tangente berechnen

Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte $P(-5, 0)$ und $Q(5, 0)$ sowie die Radien $2$ und $3$ . Gesucht ist die Länge der inneren gemeinsamen Tangente.

Kreise mit

r_1 = 2

und

r_2 = 3

Die innere gemeinsame Tangente schneidet die Verbindung der Mittelpunkte.

$Lösung$ :

Zuerst prüfen wir, ob eine innere gemeinsame Tangente existiert:

\begin{aligned} d &= \sqrt{(5-(-5))^2 + (0-0)^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Da die Bedingung erfüllt ist, gilt:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

Die innere gemeinsame Tangente ist daher $5\sqrt{3} \text{ Einheiten}$ lang.

Kreise mit gleichen Radien

Für zwei verschiedene Kreise mit $r_1=r_2=r$ verlaufen die äußeren Tangenten $parallel zur Mittelpunktsgeraden$ . Für $d>2r$ schneiden sich die beiden inneren Tangenten im $Mittelpunkt der Verbindungsstrecke$ , stehen aber im Allgemeinen schräg zur Mittelpunktsgeraden. Erst bei $d=2r$ steht die einzige verbleibende innere Tangente senkrecht darauf.

Parallele Tangenten bei gleichen Radien

Äußere gemeinsame Tangente bei gleichen Radien

Zwei gleich große Kreise mit beiden äußeren gemeinsamen Tangenten oberhalb und unterhalb der Mittelpunktslinie.

Für $r_1 = r_2$ :

Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen $parallel$ zur Linie, die die beiden Mittelpunkte verbindet
Die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente beträgt $d$ (Abstand zwischen den Mittelpunkten)

Fälle mit verschiedenen Kreispositionen

Berechne für die folgenden Kreise die Länge der äußeren und der inneren gemeinsamen Tangente. Notiere zuerst $den Abstand der Mittelpunkte und beide Radien$ : Für die äußere Tangente gilt $l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2}$ , für die innere $l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$ .

Weit auseinanderliegende Kreise

Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $(-6, 0)$ und den Radius $1$ , der zweite den Mittelpunkt $(6, 0)$ und den Radius $2$ .

Fall: weit auseinanderliegende Kreise

Es gibt beide Arten gemeinsamer Tangenten.

$Lösung$ :

d = \sqrt{(6-(-6))^2 + (0-0)^2} = 12

Nahe beieinanderliegende Kreise

Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $(-2, 0)$ und den Radius $1{,}5$ , der zweite den Mittelpunkt $(2, 0)$ und den Radius $1{,}5$ .

Fall: nahe beieinanderliegende Kreise mit gleichen Radien

Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen parallel, innere schneiden sich in der Mitte.

$Lösung$ :

d = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-0)^2} = 4

Übungsaufgaben

Die ersten beiden Aufgaben fragen nach Streckenlängen, die dritte nach dem Mittelpunktabstand, die vierte nach einem Radius und die letzte nach der Tangentenanzahl. Wähle je nach Tangentenart die $Differenz oder Summe der Radien$ , bevor du eine Gleichung aufstellst.

Zwei Kreise haben die Mittelpunkte $A(-4, 0)$ und $B(4, 0)$ sowie die Radien $2$ und $3$ . Bestimme die Längen des äußeren und des inneren gemeinsamen Tangentenabschnitts.
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $(0, 0)$ und den Radius $4$ , der zweite den Mittelpunkt $(10, 0)$ und den Radius $2$ . Berechne beide Tangentenlängen.
Zwei gleich große Kreise haben jeweils den Radius $3 \text{ cm}$ . Ihre innere gemeinsame Tangente ist $8 \text{ cm}$ lang. Bestimme den Abstand der Mittelpunkte.
Kreis $A$ hat den Mittelpunkt $(-5, 0)$ und den Radius $r$ , Kreis $B$ den Mittelpunkt $(7, 0)$ und den Radius $2r$ . Die äußere gemeinsame Tangente ist $4\sqrt{8}$ lang. Bestimme $r$ .
Gib die Bedingungen an, unter denen zwei Kreise genau zwei, drei oder vier gemeinsame Tangenten besitzen. Erkläre jeden Fall getrennt.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ : Gemeinsame Tangentenlängen berechnen

d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8

$Lösung 2$ : Kreise mit unterschiedlichen Mittelpunkten

d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10

$Lösung 3$ : Mittelpunktabstand aus der inneren Tangente bestimmen

Gegeben: $r_1 = r_2 = 3$ , $l_{\mathrm{int}} = 8$

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

$Gesuchten Wert bestimmen$ : $r$

Gegeben: $d = 12$ , $r_1 = r$ , $r_2 = 2r$ , $l_{\mathrm{ext}} = 4\sqrt{8}$

4\sqrt{8} = \sqrt{12^2 - (2r - r)^2}

$Lösung 5$ : Bedingungen für die Anzahl gemeinsamer Tangenten

Der Abstand der Mittelpunkte sei $d$ . Für zwei verschiedene Kreise, die nicht deckungsgleich sind, gilt die vollständige Einteilung:

Bedingung für den Mittelpunktabstand	Gemeinsame Tangenten	Lage der Kreise
$d>r_1+r_2$	$4$	außen getrennt
$d=r_1+r_2$	$3$	äußere Berührung
$\lvert r_1-r_2\rvert\lt d\lt r_1+r_2$	$2$	Schnitt in zwei Punkten
$d=\lvert r_1-r_2\rvert$	$1$	innere Berührung
$d\lt \lvert r_1-r_2\rvert$	$0$	ein Kreis liegt vollständig im anderen

Die gesuchten Bedingungen stehen somit in den ersten drei Zeilen. Deckungsgleiche Kreise mit $d=0$ und $r_1=r_2$ bilden einen Sonderfall mit unendlich vielen gemeinsamen Tangenten.

Gemeinsame Tangenten

Eine gemeinsame Tangente ist eine Gerade, $die zwei Kreise berührt$ . Es gibt zwei Arten gemeinsamer Tangenten:

$Äußere gemeinsame Tangente$ : Eine Gerade, die beide Kreise von derselben Seite berührt
$Innere gemeinsame Tangente$ : Eine Gerade, die beide Kreise von entgegengesetzten Seiten berührt

Äußere gemeinsame Tangente

Eine äußere gemeinsame Tangente berührt beide Kreise, $ohne die Verbindungsstrecke ihrer Mittelpunkte zu schneiden$ .

Äußere gemeinsame Tangente

Zwei äußere gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen.

Längenformel für die äußere gemeinsame Tangente

l^2+(r_2-r_1)^2=d^2\quad\Longrightarrow\quad l=\sqrt{d^2-(r_2-r_1)^2}

Länge der äußeren gemeinsamen Tangente berechnen

Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte $A(-3, 0)$ und $B(3, 0)$ sowie die Radien $1{,}5$ und $2{,}5$ . Gesucht ist die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente.

Kreise mit

r_1 = 1{,}5

und

r_2 = 2{,}5

Visualisierung der äußeren gemeinsamen Tangente.

$Lösung$ :

\begin{aligned} d &= \sqrt{(3-(-3))^2 + (0-0)^2} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \end{aligned}

Daher beträgt die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente $\sqrt{35} \text{ Einheiten}$ .

Innere gemeinsame Tangente

Eine innere gemeinsame Tangente ist eine Gerade, die beide Kreise von gegenüberliegenden Seiten berührt und die $Verbindungsstrecke der beiden Mittelpunkte$ schneidet.

Innere gemeinsame Tangente

Zwei innere gemeinsame Tangenten an zwei Kreisen.

Längenformel für die innere gemeinsame Tangente

Verlängere bei der inneren Tangente den Radius von $B$ bis zum Hilfspunkt $H$ . Die senkrechte Seite im gezeichneten Dreieck $AHB$ entspricht der $Summe der Radien$ . Mit $AH=l$ und $AB=d$ folgt:

l^2+(r_1+r_2)^2=d^2

Länge der inneren gemeinsamen Tangente berechnen

Die beiden Kreise haben die Mittelpunkte $P(-5, 0)$ und $Q(5, 0)$ sowie die Radien $2$ und $3$ . Gesucht ist die Länge der inneren gemeinsamen Tangente.

Kreise mit

r_1 = 2

und

r_2 = 3

Die innere gemeinsame Tangente schneidet die Verbindung der Mittelpunkte.

$Lösung$ :

Zuerst prüfen wir, ob eine innere gemeinsame Tangente existiert:

\begin{aligned} d &= \sqrt{(5-(-5))^2 + (0-0)^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Da die Bedingung erfüllt ist, gilt:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

Die innere gemeinsame Tangente ist daher $5\sqrt{3} \text{ Einheiten}$ lang.

Kreise mit gleichen Radien

Parallele Tangenten bei gleichen Radien

Äußere gemeinsame Tangente bei gleichen Radien

Zwei gleich große Kreise mit beiden äußeren gemeinsamen Tangenten oberhalb und unterhalb der Mittelpunktslinie.

Für $r_1 = r_2$ :

Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen $parallel$ zur Linie, die die beiden Mittelpunkte verbindet
Die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente beträgt $d$ (Abstand zwischen den Mittelpunkten)

Fälle mit verschiedenen Kreispositionen

Weit auseinanderliegende Kreise

Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $(-6, 0)$ und den Radius $1$ , der zweite den Mittelpunkt $(6, 0)$ und den Radius $2$ .

Fall: weit auseinanderliegende Kreise

Es gibt beide Arten gemeinsamer Tangenten.

$Lösung$ :

d = \sqrt{(6-(-6))^2 + (0-0)^2} = 12

Nahe beieinanderliegende Kreise

Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $(-2, 0)$ und den Radius $1{,}5$ , der zweite den Mittelpunkt $(2, 0)$ und den Radius $1{,}5$ .

Fall: nahe beieinanderliegende Kreise mit gleichen Radien

Äußere gemeinsame Tangenten verlaufen parallel, innere schneiden sich in der Mitte.

$Lösung$ :

d = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-0)^2} = 4

Übungsaufgaben

Zwei Kreise haben die Mittelpunkte $A(-4, 0)$ und $B(4, 0)$ sowie die Radien $2$ und $3$ . Bestimme die Längen des äußeren und des inneren gemeinsamen Tangentenabschnitts.
Der erste Kreis hat den Mittelpunkt $(0, 0)$ und den Radius $4$ , der zweite den Mittelpunkt $(10, 0)$ und den Radius $2$ . Berechne beide Tangentenlängen.
Zwei gleich große Kreise haben jeweils den Radius $3 \text{ cm}$ . Ihre innere gemeinsame Tangente ist $8 \text{ cm}$ lang. Bestimme den Abstand der Mittelpunkte.
Kreis $A$ hat den Mittelpunkt $(-5, 0)$ und den Radius $r$ , Kreis $B$ den Mittelpunkt $(7, 0)$ und den Radius $2r$ . Die äußere gemeinsame Tangente ist $4\sqrt{8}$ lang. Bestimme $r$ .
Gib die Bedingungen an, unter denen zwei Kreise genau zwei, drei oder vier gemeinsame Tangenten besitzen. Erkläre jeden Fall getrennt.

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$ : Gemeinsame Tangentenlängen berechnen

d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8

$Lösung 2$ : Kreise mit unterschiedlichen Mittelpunkten

d = \sqrt{(10-0)^2 + (0-0)^2} = 10

$Lösung 3$ : Mittelpunktabstand aus der inneren Tangente bestimmen

Gegeben: $r_1 = r_2 = 3$ , $l_{\mathrm{int}} = 8$

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

$Gesuchten Wert bestimmen$ : $r$

Gegeben: $d = 12$ , $r_1 = r$ , $r_2 = 2r$ , $l_{\mathrm{ext}} = 4\sqrt{8}$

4\sqrt{8} = \sqrt{12^2 - (2r - r)^2}

$Lösung 5$ : Bedingungen für die Anzahl gemeinsamer Tangenten

Der Abstand der Mittelpunkte sei $d$ . Für zwei verschiedene Kreise, die nicht deckungsgleich sind, gilt die vollständige Einteilung:

Bedingung für den Mittelpunktabstand	Gemeinsame Tangenten	Lage der Kreise
$d>r_1+r_2$	$4$	außen getrennt
$d=r_1+r_2$	$3$	äußere Berührung
$\lvert r_1-r_2\rvert\lt d\lt r_1+r_2$	$2$	Schnitt in zwei Punkten
$d=\lvert r_1-r_2\rvert$	$1$	innere Berührung
$d\lt \lvert r_1-r_2\rvert$	$0$	ein Kreis liegt vollständig im anderen

Die gesuchten Bedingungen stehen somit in den ersten drei Zeilen. Deckungsgleiche Kreise mit $d=0$ und $r_1=r_2$ bilden einen Sonderfall mit unendlich vielen gemeinsamen Tangenten.