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Eigenschaft:
Die Punkte und liegen auf derselben Seite der Sehne . Deshalb überspannen und denselben Bogen aus demselben Kreissegment und sind gleich groß.
Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Eigenschaft:
Jeder Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser ist ein rechter Winkel mit .
Eigenschaft: Wenn ein Durchmesser ist, dann
Dieser Zusammenhang ist als Satz des Thales bekannt.
Ein Sehnenviereck hat vier Eckpunkte auf einer Kreislinie. Zwei gegenüberliegende Winkel überspannen Bögen, die zusammen den ganzen Kreis bilden. Jeder Umfangswinkel ist halb so groß wie sein Bogen, also gilt:
Im Bild beträgt Winkel und Winkel . Die Winkel müssen also keine rechten Winkel sein.
Verlängere die Seite bis . Der Außenwinkel bildet mit dem Innenwinkel bei einen gestreckten Winkel. Auch der Innenwinkel bei ergänzt den Winkel bei auf .
Jedes Beispiel wendet einen Kreissatz auf eine beschriftete Situation an. Bestimme zuerst, welche Winkel und welchen Bogen der Satz verbindet. Schreibe die Gleichung auf, bevor du Zahlen einsetzt, weil sie zeigt, welche Größe gesucht ist.
In einem Kreis mit Mittelpunkt beträgt der Mittelpunktswinkel . Gesucht ist der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Lösung:
Beide Winkel gehören zu demselben Bogen. Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:
Im Sehnenviereck ist gegeben. Bestimme .
Lösung:
Die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ergänzen sich zu einem gestreckten Winkel:
Der Punkt liegt auf einem Kreis mit dem Durchmesser . Bestimme .
Lösung:
Da ein Durchmesser ist und auf dem Kreis liegt, gilt nach dem Satz des Thales:
Bestimme vor dem Rechnen den überspannten Bogen oder das Paar gegenüberliegender Winkel. Bei Durchmesseraufgaben muss der dritte Eckpunkt von beiden Durchmesserenden verschieden sein, damit ein Dreieck entsteht.
In einem Kreis mit Mittelpunkt gehört zum Mittelpunktswinkel der kleine Bogen . Die Punkte und liegen auf dem großen Bogen . Bestimme die Winkelmaße und .
Im Sehnenviereck gilt:
Die Punkte , und liegen auf einem Kreis. Dabei ist ein Durchmesser und es gilt . Bestimme .
Der Umfangswinkel beträgt . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
Im Sehnenviereck beträgt der Außenwinkel bei . Bestimme den Innenwinkel bei .
Lösung 1: Umfangswinkel über demselben Bogen bestimmen
Lösung:
Beide Winkel gehören zu demselben Bogen. Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:
Da Umfangswinkel über demselben Bogen gleich groß sind:
Lösung 2: Winkel im Sehnenviereck bestimmen
Lösung:
In einem Sehnenviereck ergeben gegenüberliegende Winkel zusammen .
Für Winkel (entgegengesetzt zu ):
Für Winkel (entgegengesetzt zu ):
Lösung 3: Winkel im gleichschenkligen Dreieck mit Durchmesser bestimmen
Lösung:
Da ein Durchmesser ist, gilt nach dem Satz von Thales:
Da gilt, ist das Dreieck ein rechtes gleichschenkliges Dreieck.
In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck sind beide Grundwinkel gleich:
Da (Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks):
Lösung 4: Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel bestimmen
Lösung:
Beide Winkel gehören zu demselben Bogen. Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:
Lösung 5: Innenwinkel aus dem Außenwinkel bestimmen
Lösung:
In einem Sehnenviereck ist ein Außenwinkel genauso groß wie der gegenüberliegende Innenwinkel.
Wenn der Außenwinkel bei beträgt, dann:
Das gilt, weil die Eckpunkte und im Sehnenviereck einander gegenüberliegen.
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Bestimme und .
