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Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Jede lineare Gleichung hat die Form:
Dabei sind Koeffizienten, Variablen und eine Konstante.
Ein System mit zwei Variablen, meist und , kann beliebig viele Gleichungen enthalten. Mit zwei Gleichungen lautet die Form:
Beispiel:
Die Lösung dieses Systems ist das Wertepaar , das beide Gleichungen erfüllt.
Ein System kann beliebig viele Gleichungen enthalten. Um jedoch eindeutige Werte für zu bestimmen, müssen die Gleichungen drei unabhängige Bedingungen liefern. Eine übliche Form mit drei Gleichungen ist:
Beispiel:
Ein lineares Gleichungssystem wird gelöst, indem du Schritt für Schritt eine Variable entfernst, bis nur noch ein Wert übrig bleibt. Die Substitutionsmethode und die Eliminationsmethode entfernen jeweils eine Variable, und beide Wege führen beim selben Systemtyp zum Ziel. Vergleiche am Ende, wann welcher Weg kürzer ist.
Bei der Substitutionsmethode wird eine Variable durch einen gleichwertigen Ausdruck in der anderen Variablen ersetzt. Das folgende Beispiel zeigt die einzelnen Schritte.
Schritt 1: Drücke eine Variable mithilfe der einfacheren Gleichung aus.
Aus der Gleichung (2): drücken wir durch aus:
Schritt 2: In die andere Gleichung einsetzen.
Gleichung (3) in Gleichung (1) einfügen:
Schritt 3: Löse die entstandene Gleichung.
Schritt 4: Setze den berechneten Wert ein, um die andere Variable zu finden.
Setze den Wert aus Gleichung (4) in Gleichung (3) ein:
Daher ist die Lösung und .
Bei der Eliminationsmethode werden zwei Gleichungen addiert oder subtrahiert, um eine Variable zu entfernen. Die folgende Rechnung löst dasselbe Beispiel.
Schritt 1: Gleiche die Koeffizienten einer Variablen an.
Multipliziere Gleichung (2) mit , damit beide Gleichungen denselben Koeffizienten vor haben:
Schritt 2: Eliminiere die Variable, indem du die Gleichungen subtrahierst.
Subtrahiere Gleichung (3) von Gleichung (1):
Schritt 3: Bestimme mit dem Wert von nun .
Setze den Wert aus Gleichung (4) in Gleichung (2) ein:
Daher ist die Lösung und .
Probe:
Bestimme das Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt:
Aus der zweiten Gleichung folgt . Setze diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein:
Setze das Ergebnis wieder in ein:
Beide Ausgangsgleichungen bestätigen das Ergebnis:
Die Lösung ist also .
Angewandte Systeme beginnen mit einer Beschreibung. Aus der Beschreibung entsteht zuerst ein Modell, das du löst und danach prüfst, ob die Lösung die ursprüngliche Frage beantwortet.
Beim Basketball mit fünf Spielern pro Mannschaft zählt ein erfolgreicher Freiwurf einen Punkt. Ein Treffer aus dem Zweipunktebereich zählt zwei Punkte, ein Treffer aus dem Dreipunktebereich drei.
Wijaya erzielt 27 Punkte mit 16 erfolgreichen Würfen, darunter sechs Freiwürfen. Fehlwürfe werden in dieser Aufgabe nicht mitgezählt. Die Variablen , und bezeichnen die Anzahl erfolgreicher Würfe für einen, zwei beziehungsweise drei Punkte. Alle drei Werte sind nichtnegative ganze Zahlen.
Übersetze die Gesamtpunktzahl, die erfolgreichen Würfe und die erfolgreichen Freiwürfe in drei Gleichungen:
Setze in die zweite Gleichung ein:
Setze in die erste Gleichung ein:
Aus diesen beiden Gleichungen:
Multipliziere die zweite Gleichung mit zwei und ziehe sie von der ersten ab. Damit eliminierst du die Anzahl der Zweipunktwürfe:
Wijaya traf sechs Freiwürfe, neun Zweipunktwürfe und einen Dreipunktwurf.
Für zwei Gleichungen, die jeweils eine Gerade beschreiben, gibt es drei Möglichkeiten. Sich schneidende Geraden haben eine Lösung, verschiedene parallele Geraden keine Lösung und zusammenfallende Geraden unendlich viele Lösungen.
Im dreidimensionalen Raum beschreibt eine lineare Gleichung mit mindestens einem Variablenkoeffizienten ungleich null eine Ebene. Die Lösungsmenge ist der gemeinsame Schnitt aller Ebenen. Der Schnitt zweier Ebenen muss nicht auf einer dritten Ebene liegen. Zum Beispiel schneiden sich und entlang der z-Achse. Kein Punkt dieser Achse erfüllt jedoch .
Bei drei oder mehr Ebenen kann der gemeinsame Schnitt ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder die leere Menge sein.
Die folgenden Darstellungen zeigen drei Geradenanordnungen und wie die Anzahl gemeinsamer Punkte die Anzahl der Lösungen festlegt.
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