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Ein Gesamtpreis kann durch verschiedene Warenkombinationen entstehen. Eine zweite Beziehung, etwa die Gesamtzahl der Waren, schränkt die Möglichkeiten ein. Ein lineares Gleichungssystem hält diese Beziehungen zusammen, sodass seine Lösung jede Gleichung gleichzeitig erfüllen muss.
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Jede lineare Gleichung hat die Form:
Dabei sind Koeffizienten, Variablen und eine Konstante.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen (normalerweise und ). Die allgemeine Form ist:
Beispiel:
Die Lösung dieses Systems ist das Wertepaar , das beide Gleichungen erfüllt.
Ein System kann beliebig viele Gleichungen enthalten. Um jedoch eindeutige Werte für zu bestimmen, müssen die Gleichungen drei unabhängige Bedingungen liefern. Eine übliche quadratische Form ist:
Beispiel:
Bei der Substitutionsmethode wird eine Variable durch eine andere ersetzt. Lösen wir das folgende Beispiel:
Schritt : Drücke eine Variable mithilfe der einfacheren Gleichung aus.
Aus der Gleichung (): drücken wir durch aus:
Schritt : In die andere Gleichung einsetzen.
Gleichung () in Gleichung () einfügen:
Schritt : Löse die entstandene Gleichung.
Schritt : Rückwärtsersetzen, um die andere Variable zu finden.
Setze den Wert aus Gleichung () in Gleichung () ein:
Daher ist die Lösung und .
Bei der Eliminierungsmethode wird eine Variable eliminiert. Lösen wir das gleiche Beispiel:
Schritt : Gleiche die Koeffizienten einer Variablen an.
Multipliziere Gleichung () mit , damit beide Gleichungen denselben Koeffizienten vor haben:
Schritt : Eliminiere die Variable, indem du die Gleichungen subtrahierst.
Schritt : Bestimme mit dem Wert von nun .
Setze den Wert aus Gleichung () in Gleichung () ein:
Daher ist die Lösung und .
Probe:
Löse das System:
Aus der zweiten Gleichung folgt . Setze diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein:
Setze das Ergebnis wieder in ein:
Beide Ausgangsgleichungen bestätigen das Ergebnis:
Die Lösung ist also .
Mathematische Modellierung ist der Prozess der Umwandlung realer Probleme in mathematische Form. Für lineare Gleichungssysteme gilt:
Im Basketball gibt es drei Arten von Schüssen mit unterschiedlichen Punktwerten: Freiwürfe (-Punkt), Zweipunktschüsse (-Punkte) und Dreipunktschüsse (-Punkte).
Definieren wir:
Wenn Wijaya Punkte erzielte, insgesamt Schüsse machte, davon Freiwürfe, dann:
Setze in die zweite Gleichung ein:
Setze den Wert auch in die erste Gleichung ein:
Aus diesen beiden Gleichungen:
Durch Eliminierung oder Substitution erhalten wir und .
Daher machte Wijaya Freiwürfe, -Punktwürfe und -Punktwürfe.
Lineare Gleichungssysteme haben drei mögliche Lösungstypen:
In drei Dimensionen stellt eine lineare Gleichung eine Ebene dar. Zwei verschiedene, nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Bei drei oder mehr Ebenen kann die gemeinsame Lösungsmenge ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder leer sein.
