Lineare Ungleichungssysteme

Gemeinsame Lösungen mehrerer Ungleichungen

Ein Plan kann gleichzeitig ein Budget einhalten und eine Mindestteilnehmerzahl erreichen müssen. Jede Bedingung schließt einen Teil der Möglichkeiten aus. Ein lineares Ungleichungssystem beschreibt die Entscheidungen, die alle Bedingungen zugleich erfüllen.

Lineares Ungleichungssystem

Ein lineares Ungleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Eine obere Schranke hat beispielsweise die Form:

Eine untere Schranke verwendet das umgekehrte Vergleichszeichen:

Dabei sind $a_1, a_2, ..., a_n$ die Koeffizienten, $x_1, x_2, ..., x_n$ die Variablen und $b$ eine Konstante. Als Ungleichheitszeichen kommen $\leq, \geq, <, >$ infrage.

Gleichungen und Ungleichungen unterscheiden sich durch die Beziehung zwischen ihren beiden Seiten:

• Eine lineare Gleichung setzt zwei Ausdrücke gleich ($=$)
• Eine lineare Ungleichung vergleicht zwei Ausdrücke ($\leq, \geq, <, >$)

Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen

Ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Variablen enthält mindestens zwei Ungleichungen in den Variablen $x$ und $y$:

Beispiel:

Die Lösung dieses Systems ist die Menge geordneter Paare $(x,y)$, die alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.

Lineare Ungleichungssysteme lösen

Bei zwei Variablen lässt sich die Lösungsmenge grafisch bestimmen. Jede Ungleichung wird zu einer Halbebene, und die Lösung ist der Bereich, in dem sich alle Halbebenen überdecken. Die Schritte unten bauen diesen Bereich der Reihe nach auf.

Grenzgeraden zeichnen

Ersetze in jeder Ungleichung das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und zeichne die entstehende Grenzgerade.

Beispiel:

Zum System:

Zeichne die Geraden:

Die richtige Halbebene bestimmen

Für jede Ungleichung wird eine Seite der Grenzgeraden ausgewählt:

1. Wähle einen Testpunkt, etwa den Ursprung $(0,0)$, sofern er nicht auf der Geraden liegt
2. Setze seine Koordinaten in die Ungleichung ein
3. Ist die Aussage wahr, gehört die Halbebene mit dem Testpunkt zur Lösung
4. Ist sie falsch, gehört die gegenüberliegende Halbebene zur Lösung

Beispiel:

Prüfe für $2x + 5y < 10$ den Punkt $(0, 0)$:

(wahr)

Die Lösung ist die Halbebene mit dem Punkt $(0, 0)$, also die Fläche unterhalb der Geraden $2x + 5y = 10$.

Prüfe für $6x + 2y > 10$ wieder den Punkt $(0, 0)$:

(falsch)

Diesmal gehört die Halbebene ohne den Punkt $(0, 0)$ zur Lösung. Sie liegt oberhalb der Geraden $6x + 2y = 10$.

Die Lösungsbereiche schneiden

Die Schnittmenge enthält Punkte, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen. Der Punkt $(2,1)$ liegt unter der ersten und über der zweiten Geraden. Prüfe das durch Einsetzen beider Koordinaten:

Der Punkt $(0,0)$ erfüllt nur die erste Bedingung und löst das System daher nicht. Bei strengen Ungleichungen gehören Randpunkte nicht dazu, auch nicht der Schnittpunkt der beiden Grenzgeraden.

Grafische Darstellung

Für die Darstellung gilt:

• Bei $\leq$ oder $\geq$ wird die Grenzgerade durchgezogen, weil ihre Punkte zur Lösung gehören
• Bei $<$ oder $>$ wird sie gestrichelt, weil ihre Punkte nicht zur Lösung gehören
• Die passende Halbebene wird schattiert

Verständnis prüfen

Prüfe, ob $(2,3)$ und $(1,5)$ zur Lösungsmenge gehören.

Ausführliche Lösung

Beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung durch eine negative Zahl musst du das Vergleichszeichen umdrehen. Für die zweite Bedingung gilt:

Setze $(2,3)$ in beide Ungleichungen ein:

Beide Aussagen sind wahr, also ist $(2,3)$ eine Lösung.

Prüfe nun $(1,5)$:

Die zweite Aussage ist falsch, also ist $(1,5)$ keine Lösung. Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in $(2,4)$, doch dieser Punkt ist nur ein Teil der Lösung. Die vollständige Lösung ist der gesamte Überlappungsbereich einschließlich der Teile jeder Grenzgeraden, die auch die andere Ungleichung erfüllen.

Zulässige Entscheidungen modellieren

Ein lineares Ungleichungssystem beschreibt die Menge der Kombinationen, die gemeinsam zulässig sind. Aus einer Beschreibung entsteht zuerst ein Modell, dessen Lösung eine Fläche zulässiger Kombinationen ist.

Zulässige Optionen mit Ungleichungen modellieren

Lineare Ungleichungssysteme beschreiben die zulässigen Entscheidungen in Optimierungsproblemen, etwa bei:

• Produktionsproblemen mit begrenzten Ressourcen
• Budgetplanungen mit begrenzten Kosten
• Ernährungsplanungen mit Kaloriengrenzen

Ein Optimierungsmodell benötigt außerdem ein Ziel, etwa minimale Kosten oder maximale Produktion. Die Ungleichungen allein legen fest, welche Entscheidungen zulässig sind.

Aktivitätsplanung

Kiki organisiert in ihrer Nachbarschaft eine Feier zum Unabhängigkeitstag. Aus dem Gemeinschaftsfonds stehen $\text{Rp}500{.}000{,}00$ zur Verfügung. Die Organisation von Wettbewerben kostet $\text{Rp}20{.}000{,}00$ pro Kind. Die Preise für die Gewinner sind für jede Wettbewerbsart mit $\text{Rp}40{.}000{,}00$ veranschlagt. Es wird erwartet, dass mehr als $13$ Kinder teilnehmen werden.

Definieren wir:

• $x$ = Anzahl der Teilnehmer
• $y$ = Anzahl der Wettbewerbe

Das mathematische Modell ist:

Wenn wir vereinfachen:

Ohne die Ganzzahligkeitsbedingung bestimmen Kosten- und Teilnehmergrenze einen kontinuierlichen zulässigen Bereich. Da Teilnehmer und Wettbewerbe nur in ganzen Zahlen gezählt werden können, sind die gültigen Pläne genau die positiven ganzzahligen Punkte in diesem Bereich.

Die Anzahl der Wettbewerbe maximieren

Möchte Kiki möglichst viele Wettbewerbe veranstalten, lautet das Ziel, $y$ zu maximieren. Die Teilnehmerzahl ist ganzzahlig und größer als 13. Ihr kleinster Wert ist deshalb $x=14$. Teile die Budgetbedingung durch 20.000:

Die Wettbewerbszahl muss ganzzahlig sein, also sind höchstens fünf Wettbewerbe möglich. Sechs erfordern mindestens $14+2(6)=26$ Kosteneinheiten und überschreiten die Grenze 25. Beide folgenden Pläne ermöglichen fünf Wettbewerbe:

Gleichungssystem und Ungleichungssystem im Vergleich

Die beiden Systemtypen unterscheiden sich darin, was als Lösung gilt. Die Tabelle stellt Operationszeichen, Lösungsform und grafische Darstellung gegenüber.

Interaktive Visualisierung linearer Ungleichungssysteme

Jede Ungleichung legt eine zulässige Halbebene fest. Bei mehreren Ungleichungen erfüllt nur der Schnitt dieser Halbebenen alle Bedingungen.

Die interaktive Darstellung zeigt genau diese Überlagerung.

Beispiel eines Ungleichheitssystems

Dieses System enthält zwei Ungleichungen, und jede Ungleichung liefert einen eigenen Bereich:

Der orangefarbene Bereich erfüllt $x + y \leq 10$. Er enthält alle Punkte unterhalb oder auf der Geraden $x + y = 10$.

Der violette Bereich erfüllt $15x + 9y \geq 120$. Er enthält alle Punkte oberhalb oder auf der Geraden $15x + 9y = 120$.

Der Überlappungsbereich erfüllt beide Bedingungen und ist damit die Lösung des Systems.

Die Visualisierung lesen

Achte auf drei Elemente:

1. Grenzlinien zeigen die Gleichungen (z. B. $x + y = 10$ und $15x + 9y = 120$)
2. Farbige Bereiche zeigen die Lösung für jede Ungleichung
3. Schnittbereich (der Bereich, der alle Ungleichungen erfüllt) ist die Lösung des Ungleichheitssystems

Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in $(5,5)$. Dieser Punkt bildet eine Ecke der zulässigen Menge. Die überlappende Schattierung zeigt den im Grafikfenster sichtbaren Teil der Lösungsmenge. Der Rand der Darstellung begrenzt nicht die Lösungsmenge.

Dasselbe Vorgehen lässt sich auf Sachaufgaben übertragen: Jede Bedingung erzeugt einen Bereich, und nur ihre Schnittmenge erfüllt alle Bedingungen gleichzeitig.