Lineare Gleichungssysteme

Mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllen

Ein Gesamtpreis kann durch verschiedene Warenkombinationen entstehen. Eine weitere Angabe, etwa die Gesamtzahl der Waren, schränkt die Möglichkeiten ein. Ein lineares Gleichungssystem schreibt jede Angabe als Gleichung auf. Die Lösung muss alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Jede lineare Gleichung hat die Form:

Dabei sind $a_1, a_2, \ldots, a_n$ Koeffizienten, $x_1, x_2, \ldots, x_n$ Variablen und $b$ eine Konstante.

Zweivariable lineare Gleichungssysteme

Ein System mit zwei Variablen, meist $x$ und $y$, kann beliebig viele Gleichungen enthalten. Mit zwei Gleichungen lautet die Form:

Beispiel:

Die Lösung dieses Systems ist das Wertepaar $(x,y)$, das beide Gleichungen erfüllt.

Dreivariable lineare Gleichungssysteme

Ein System kann beliebig viele Gleichungen enthalten. Um jedoch eindeutige Werte für $x,y,z$ zu bestimmen, müssen die Gleichungen drei unabhängige Bedingungen liefern. Eine übliche Form mit drei Gleichungen ist:

Beispiel:

Lösen linearer Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem wird gelöst, indem du Schritt für Schritt eine Variable entfernst, bis nur noch ein Wert übrig bleibt. Die Substitutionsmethode und die Eliminationsmethode entfernen jeweils eine Variable, und beide Wege führen beim selben Systemtyp zum Ziel. Vergleiche am Ende, wann welcher Weg kürzer ist.

Substitutionsmethode

Bei der Substitutionsmethode wird eine Variable durch einen gleichwertigen Ausdruck in der anderen Variablen ersetzt. Das folgende Beispiel zeigt die einzelnen Schritte.

Schritt 1: Drücke eine Variable mithilfe der einfacheren Gleichung aus.

Aus der Gleichung (2): $x + y = 10$ drücken wir $x$ durch $y$ aus:

Schritt 2: In die andere Gleichung einsetzen.

Gleichung (3) in Gleichung (1) einfügen:

Schritt 3: Löse die entstandene Gleichung.

Schritt 4: Setze den berechneten Wert ein, um die andere Variable zu finden.

Setze den Wert $y = 1$ aus Gleichung (4) in Gleichung (3) ein:

Daher ist die Lösung $x = 9$ und $y = 1$.

Eliminationsmethode

Bei der Eliminationsmethode werden zwei Gleichungen addiert oder subtrahiert, um eine Variable zu entfernen. Die folgende Rechnung löst dasselbe Beispiel.

Schritt 1: Gleiche die Koeffizienten einer Variablen an.

Multipliziere Gleichung (2) mit $2$, damit beide Gleichungen denselben Koeffizienten vor $x$ haben:

Schritt 2: Eliminiere die Variable, indem du die Gleichungen subtrahierst.

Subtrahiere Gleichung (3) von Gleichung (1):

Schritt 3: Bestimme mit dem Wert von $y$ nun $x$.

Setze den Wert $y = 1$ aus Gleichung (4) in Gleichung (2) ein:

Daher ist die Lösung $x = 9$ und $y = 1$.

Probe:

• Gleichung (1): $2(9) + 3(1) = 18 + 3 = 21$ ✓
• Gleichung (2): $9 + 1 = 10$ ✓

Verständnis prüfen

Bestimme das Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt:

Ausführliche Lösung

Aus der zweiten Gleichung folgt $x=y+2$. Setze diesen Ausdruck in die erste Gleichung ein:

Setze das Ergebnis wieder in $x=y+2$ ein:

Beide Ausgangsgleichungen bestätigen das Ergebnis:

Die Lösung ist also $(x,y)=(4,2)$.

Lineare Gleichungssysteme im Kontext

Angewandte Systeme beginnen mit einer Beschreibung. Aus der Beschreibung entsteht zuerst ein Modell, das du löst und danach prüfst, ob die Lösung die ursprüngliche Frage beantwortet.

Punktzahl beim Basketball

Beim Basketball mit fünf Spielern pro Mannschaft zählt ein erfolgreicher Freiwurf einen Punkt. Ein Treffer aus dem Zweipunktebereich zählt zwei Punkte, ein Treffer aus dem Dreipunktebereich drei.

Wijaya erzielt 27 Punkte mit 16 erfolgreichen Würfen, darunter sechs Freiwürfen. Fehlwürfe werden in dieser Aufgabe nicht mitgezählt. Die Variablen $a$, $b$ und $c$ bezeichnen die Anzahl erfolgreicher Würfe für einen, zwei beziehungsweise drei Punkte. Alle drei Werte sind nichtnegative ganze Zahlen.

Übersetze die Gesamtpunktzahl, die erfolgreichen Würfe und die erfolgreichen Freiwürfe in drei Gleichungen:

Setze $a = 6$ in die zweite Gleichung ein:

Setze $a = 6$ in die erste Gleichung ein:

Aus diesen beiden Gleichungen:

Multipliziere die zweite Gleichung mit zwei und ziehe sie von der ersten ab. Damit eliminierst du die Anzahl der Zweipunktwürfe:

Wijaya traf sechs Freiwürfe, neun Zweipunktwürfe und einen Dreipunktwurf.

Lösungen interpretieren

Für zwei Gleichungen, die jeweils eine Gerade beschreiben, gibt es drei Möglichkeiten. Sich schneidende Geraden haben eine Lösung, verschiedene parallele Geraden keine Lösung und zusammenfallende Geraden unendlich viele Lösungen.

Im dreidimensionalen Raum beschreibt eine lineare Gleichung mit mindestens einem Variablenkoeffizienten ungleich null eine Ebene. Die Lösungsmenge ist der gemeinsame Schnitt aller Ebenen. Der Schnitt zweier Ebenen muss nicht auf einer dritten Ebene liegen. Zum Beispiel schneiden sich $x=0$ und $y=0$ entlang der z-Achse. Kein Punkt dieser Achse erfüllt jedoch $x+y=1$.

Bei drei oder mehr Ebenen kann der gemeinsame Schnitt ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder die leere Menge sein.

Visualisierung linearer Gleichungssysteme

Die folgenden Darstellungen zeigen drei Geradenanordnungen und wie die Anzahl gemeinsamer Punkte die Anzahl der Lösungen festlegt.