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Ein lineares Ungleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Eine obere Schranke hat beispielsweise die Form:
Eine untere Schranke verwendet das umgekehrte Vergleichszeichen:
Dabei sind die Koeffizienten, die Variablen und eine Konstante. Als Ungleichheitszeichen kommen infrage.
Gleichungen und Ungleichungen unterscheiden sich durch die Beziehung zwischen ihren beiden Seiten:
Ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Variablen enthält mindestens zwei Ungleichungen in den Variablen und :
Beispiel:
Die Lösung dieses Systems ist die Menge geordneter Paare , die alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.
Bei zwei Variablen lässt sich die Lösungsmenge grafisch bestimmen. Jede Ungleichung wird zu einer Halbebene, und die Lösung ist der Bereich, in dem sich alle Halbebenen überdecken. Die Schritte unten bauen diesen Bereich der Reihe nach auf.
Ersetze in jeder Ungleichung das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und zeichne die entstehende Grenzgerade.
Beispiel:
Zum System:
Zeichne die Geraden:
Für jede Ungleichung wird eine Seite der Grenzgeraden ausgewählt:
Beispiel:
Prüfe für den Punkt :
(wahr)
Die Lösung ist die Halbebene mit dem Punkt , also die Fläche unterhalb der Geraden .
Prüfe für wieder den Punkt :
(falsch)
Diesmal gehört die Halbebene ohne den Punkt zur Lösung. Sie liegt oberhalb der Geraden .
Die Schnittmenge enthält Punkte, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen. Der Punkt liegt unter der ersten und über der zweiten Geraden. Prüfe das durch Einsetzen beider Koordinaten:
Der Punkt erfüllt nur die erste Bedingung und löst das System daher nicht. Bei strengen Ungleichungen gehören Randpunkte nicht dazu, auch nicht der Schnittpunkt der beiden Grenzgeraden.
Für die Darstellung gilt:
Prüfe, ob und zur Lösungsmenge gehören.
Beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung durch eine negative Zahl musst du das Vergleichszeichen umdrehen. Für die zweite Bedingung gilt:
Setze in beide Ungleichungen ein:
Beide Aussagen sind wahr, also ist eine Lösung.
Prüfe nun :
Die zweite Aussage ist falsch, also ist keine Lösung. Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in , doch dieser Punkt ist nur ein Teil der Lösung. Die vollständige Lösung ist der gesamte Überlappungsbereich einschließlich der Teile jeder Grenzgeraden, die auch die andere Ungleichung erfüllen.
Ein lineares Ungleichungssystem beschreibt die Menge der Kombinationen, die gemeinsam zulässig sind. Aus einer Beschreibung entsteht zuerst ein Modell, dessen Lösung eine Fläche zulässiger Kombinationen ist.
Lineare Ungleichungssysteme beschreiben die zulässigen Entscheidungen in Optimierungsproblemen, etwa bei:
Ein Optimierungsmodell benötigt außerdem ein Ziel, etwa minimale Kosten oder maximale Produktion. Die Ungleichungen allein legen fest, welche Entscheidungen zulässig sind.
Kiki organisiert in ihrer Nachbarschaft eine Feier zum Unabhängigkeitstag. Aus dem Gemeinschaftsfonds stehen zur Verfügung. Die Organisation von Wettbewerben kostet pro Kind. Die Preise für die Gewinner sind für jede Wettbewerbsart mit veranschlagt. Es wird erwartet, dass mehr als Kinder teilnehmen werden.
Definieren wir:
Das mathematische Modell ist:
Wenn wir vereinfachen:
Ohne die Ganzzahligkeitsbedingung bestimmen Kosten- und Teilnehmergrenze einen kontinuierlichen zulässigen Bereich. Da Teilnehmer und Wettbewerbe nur in ganzen Zahlen gezählt werden können, sind die gültigen Pläne genau die positiven ganzzahligen Punkte in diesem Bereich.
Möchte Kiki möglichst viele Wettbewerbe veranstalten, lautet das Ziel, zu maximieren. Die Teilnehmerzahl ist ganzzahlig und größer als 13. Ihr kleinster Wert ist deshalb . Teile die Budgetbedingung durch 20.000:
Die Wettbewerbszahl muss ganzzahlig sein, also sind höchstens fünf Wettbewerbe möglich. Sechs erfordern mindestens Kosteneinheiten und überschreiten die Grenze 25. Beide folgenden Pläne ermöglichen fünf Wettbewerbe:
| Teilnehmer | Wettbewerbe | Gesamtkosten |
|---|---|---|
| 14 | 5 | Rp480.000 |
| 15 | 5 | Rp500.000 |
Die beiden Systemtypen unterscheiden sich darin, was als Lösung gilt. Die Tabelle stellt Operationszeichen, Lösungsform und grafische Darstellung gegenüber.
| Aspekt | Lineare Gleichungssysteme | Lineare Ungleichungssysteme |
|---|---|---|
| Operationszeichen | Verwendet Gleichheitszeichen () | Verwendet Ungleichheitszeichen () |
| Lösungsform | Gemeinsame Punkte aller Gleichungen | Die gemeinsame zulässige Menge aller Ungleichungen |
| Grafische Darstellung | Gemeinsame Punkte der Geraden | Schnitt der schattierten Halbebenen |
| Lösungsmethoden | Substitution, Eliminierung, Determinanten | Grafik, Zulässigkeitsprüfung und lineare Optimierung bei vorhandener Zielfunktion |
| Anzahl der Lösungen | Keine, eine oder unendlich viele | Leer, ein Punkt oder Randstück, oder ein Bereich mit unendlich vielen reellen Lösungen |
| Zeichnung | Verwendet immer durchgezogene Linien | Durchgezogene Linien für und gestrichelte Linien für |
Jede Ungleichung legt eine zulässige Halbebene fest. Bei mehreren Ungleichungen erfüllt nur der Schnitt dieser Halbebenen alle Bedingungen.
Die interaktive Darstellung zeigt genau diese Überlagerung.
Dieses System enthält zwei Ungleichungen, und jede Ungleichung liefert einen eigenen Bereich:
Der orangefarbene Bereich erfüllt . Er enthält alle Punkte unterhalb oder auf der Geraden .
Der violette Bereich erfüllt . Er enthält alle Punkte oberhalb oder auf der Geraden .
Der Überlappungsbereich erfüllt beide Bedingungen und ist damit die Lösung des Systems.
Achte auf drei Elemente:
Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in . Dieser Punkt bildet eine Ecke der zulässigen Menge. Die überlappende Schattierung zeigt den im Grafikfenster sichtbaren Teil der Lösungsmenge. Der Rand der Darstellung begrenzt nicht die Lösungsmenge.
Dasselbe Vorgehen lässt sich auf Sachaufgaben übertragen: Jede Bedingung erzeugt einen Bereich, und nur ihre Schnittmenge erfüllt alle Bedingungen gleichzeitig.
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