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Bei der Addition und Subtraktion von Polynomen gilt dieselbe Grundidee wie bei anderen algebraischen Ausdrücken: Nur gleichartige Terme lassen sich zusammenfassen.
Was sind gleichartige Terme?
Gleichartige Terme enthalten genau dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Nur ihre Koeffizienten dürfen verschieden sein.
Beispiele für gleichartige Terme:
- 3x, −7x, −51x enthalten alle die Variable x mit dem Exponenten 1.
- 21x3, 4x3, −2x3 enthalten alle die Variable mit dem Exponenten .
- 2x2yz3, 43x2yz3, −5z3x2y enthalten alle mit dem Exponenten , mit dem Exponenten und mit dem Exponenten . Die Reihenfolge der Faktoren spielt dabei keine Rolle.
Beispiele für nicht gleichartige Terme:
- 11x und 4x2 haben unterschiedliche Exponenten von x.
- 4x3 und −2x4 haben unterschiedliche Exponenten von x.
- 4x2 und −x5 haben unterschiedliche Exponenten von x.
- In 43x2yz3 und 2x2y fehlt im zweiten Term der Faktor .
- 43x2yz3 und −7xy2z3 haben unterschiedliche Exponenten von und .
Bei der Addition zweier Polynome werden die Koeffizienten gleichartiger Terme addiert, während ihre Variablenteile unverändert bleiben.
- Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Pluszeichen dazwischen.
- Löse die Klammern auf.
- Ordne die gleichartigen Terme.
- Addiere ihre Koeffizienten mithilfe des Distributivgesetzes.
Bestimme die Summe (2x3+7x2+3x+5)+(6x3+2x2+4x+1).
Bei der Subtraktion wechseln zuerst alle Terme des zweiten Polynoms ihr Vorzeichen. Danach werden die gleichartigen Terme wie bei einer Addition zusammengefasst.
- Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Minuszeichen dazwischen.
- Löse die Klammern auf. Achte darauf: Das Minus vor der zweiten Klammer ändert das Vorzeichen jedes Terms darin.
- Ordne die gleichartigen Terme.
- Fasse ihre Koeffizienten zusammen.
Bestimme die Differenz (9x3+4x2+6x+5)−(2x3+3x2+3x+4).
Merke: Beim Subtrahieren ändert das Minus vor der Klammer das Vorzeichen jedes Terms in dieser Klammer.
Polynome lassen sich auch untereinander schreiben, ähnlich wie bei der schriftlichen Addition und Subtraktion von Zahlen.
- Schreibe beide Polynome untereinander.
- Ordne gleichartige Terme in derselben Spalte an.
- Fehlt ein Term, lasse die Stelle frei oder ergänze den Koeffizienten 0.
- Addiere oder subtrahiere die Koeffizienten spaltenweise.
Beispiel für vertikale Addition:
Beispiel für vertikale Subtraktion:
Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Nutze die Darstellung, bei der du die gleichartigen Terme am sichersten im Blick behältst.
Addition und Subtraktion von Polynomfunktionen lassen sich nicht nur algebraisch, sondern auch an ihren Graphen verstehen.
Angenommen, wir haben drei Graphen von Polynomfunktionen:
Auch ohne die exakten Gleichungen der Funktionen f, g und h lässt sich der Graph ihrer Summe, etwa f(x)+g(x), oder ihrer Differenz, etwa f(x)−g(x), punktweise skizzieren:
- Wähle in beiden Graphen dieselben x-Werte.
- Lies zu jedem x die beiden y-Werte ab. Nenne sie yf=f(x) und yg=g(x).
- Für die Summe f(x)+g(x): Berechne yneu=yf+yg.
- Für die Differenz f(x)−g(x): Berechne yneu=yf−yg.
- Trage den neuen Punkt (x,yneu) ein.
- Wiederhole das Verfahren für weitere x-Werte.
- Verbinde die neuen Punkte mit einer glatten Kurve.
Bei der Addition oder Subtraktion von Funktionen werden für jeden gemeinsamen Eingabewert x genau die zugehörigen Ausgabewerte y addiert oder subtrahiert.
Hier sind Beispielskizzen der Diagramme, die sich aus der Summe f(x)+g(x) und der Differenz f(x)−g(x) ergeben, die durch vertikales Addieren oder Subtrahieren der y-Werte für jedes x erhalten werden.
Auf dieselbe Weise kannst du die Graphen von f(x)+h(x), g(x)+h(x), f(x)−h(x), und g(x)−h(x) skizzieren. Entscheidend ist, die Höhen, also die y-Werte, bei demselben x zu addieren oder zu subtrahieren.
Bestimme A(x)+B(x) und A(x)−B(x).
Bei der Addition fassen wir die Koeffizienten gleicher Potenzen zusammen:
Bei der Subtraktion verteilen wir zuerst das Minuszeichen auf jeden Term von B(x) und fassen danach gleichartige Terme zusammen:
g(x)=0,5x4−2x2+1 Das Ergebnis von
f(x)−g(x) ist
x+1−(0,5x4−2x2+1)