Bei der Addition und Subtraktion von Polynomen gilt dieselbe Grundidee wie bei anderen algebraischen Ausdrücken: Nur gleichartige Terme lassen sich zusammenfassen.
Was sind gleichartige Terme?
Gleichartige Terme enthalten genau dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Nur ihre Koeffizienten dürfen verschieden sein.
Beispiele für gleichartige Terme:
3x,−7x,−51x enthalten alle die Variable x mit dem Exponenten 1.
21x3,4x3,−2x3 enthalten alle die Variable mit dem Exponenten .
2x2yz3,43x2yz3,−5z3x2y enthalten alle mit dem Exponenten , mit dem Exponenten und mit dem Exponenten . Die Reihenfolge der Faktoren spielt dabei keine Rolle.
Beispiele für nicht gleichartige Terme:
11x und 4x2 haben unterschiedliche Exponenten von x.
4x3 und −2x4 haben unterschiedliche Exponenten von x.
4x2 und −x5 haben unterschiedliche Exponenten von x.
In 43x2yz3 und 2x2y fehlt im zweiten Term der Faktor .
43x2yz3 und −7xy2z3 haben unterschiedliche Exponenten von und .
Bei der Subtraktion wechseln zuerst alle Terme des zweiten Polynoms ihr Vorzeichen. Danach werden die gleichartigen Terme wie bei einer Addition zusammengefasst.
Horizontale Methode:
Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Minuszeichen dazwischen.
Löse die Klammern auf. Achte darauf: Das Minus vor der zweiten Klammer ändert das Vorzeichen jedes Terms darin.
Ordne die gleichartigen Terme.
Fasse ihre Koeffizienten zusammen.
Beispiel:
Bestimme die Differenz (9x3+4x2+6x+5)−(2x3+3x2+3x+4).
Auch ohne die exakten Gleichungen der Funktionen f, g und h lässt sich der Graph ihrer Summe, etwa f(x)+g(x), oder ihrer Differenz, etwa f(x)−g(x), punktweise skizzieren:
Wähle in beiden Graphen dieselben x-Werte.
Lies zu jedem x die beiden y-Werte ab. Nenne sie yf=f(x) und yg=g(x).
Für die Summe f(x)+g(x): Berechne yneu=yf+yg.
Für die Differenz f(x)−g(x): Berechne yneu=yf−yg.
Trage den neuen Punkt (x,yneu) ein.
Wiederhole das Verfahren für weitere x-Werte.
Verbinde die neuen Punkte mit einer glatten Kurve.
Warum funktioniert das?
Bei der Addition oder Subtraktion von Funktionen werden für jeden gemeinsamen Eingabewert x genau die zugehörigen Ausgabewerte y addiert oder subtrahiert.
Hier sind Beispielskizzen der Diagramme, die sich aus der Summe f(x)+g(x) und der Differenz f(x)−g(x) ergeben, die durch vertikales Addieren oder Subtrahieren der y-Werte für jedes x erhalten werden.
Diagramm von f(x)+g(x), f(x)=x+1, und g(x)=0,5x4−2x2+1
Das Ergebnis von f(x)+g(x) ist x+1+0,5x4−2x2+1
Diagramm von f(x)−g(x), f(x)=x+1, und
Auf dieselbe Weise kannst du die Graphen von f(x)+h(x),g(x)+h(x),f(x)−h(x),undg(x)−h(x) skizzieren. Entscheidend ist, die Höhen, also die y-Werte, bei demselben x zu addieren oder zu subtrahieren.
