Addition und Subtraktion von Polynomen

Gleichartige Terme zusammenfassen

Bei der Addition und Subtraktion von Polynomen gilt dieselbe Grundidee wie bei anderen algebraischen Ausdrücken: Nur $gleichartige Terme$ lassen sich zusammenfassen. Zwei Terme sind gleichartig, wenn dieselbe Variable dieselbe Hochzahl trägt, und beim Zusammenfassen ändert sich nur der Koeffizient.

Gleichartige Terme erkennen

$Gleichartige Terme$ enthalten genau dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Nur ihre Koeffizienten dürfen verschieden sein.

$Beispiele für gleichartige Terme$ :

$3x, \space -7x, \space -\frac{1}{5}x$ enthalten alle die Variable $x$ mit dem Exponenten $1$ .
$\frac{1}{2}x^3, \space 4x^3, \space -2x^3$ enthalten alle die Variable $x$ mit dem Exponenten $3$ .
$2x^2yz^3, \space \frac{3}{4}x^2yz^3, \space -5z^3x^2y$ enthalten alle $x$ mit dem Exponenten $2$ , $y$ mit dem Exponenten $1$ und $z$ mit dem Exponenten $3$ . Die Reihenfolge der Faktoren spielt dabei keine Rolle.

$Beispiele für nicht gleichartige Terme$ :

$11x$ und $4x^2$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ .
$4x^3$ und $-2x^4$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ .
$4x^2$ und $-x^5$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ .
In $\frac{3}{4}x^2yz^3$ und $2x^2y$ fehlt im zweiten Term der Faktor $z^3$ .
$\frac{3}{4}x^2yz^3$ und $-7xy^2z^3$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ und $y$ .

Polynomaddition

Bei der Addition zweier Polynome werden $die Koeffizienten gleichartiger Terme addiert$ , während ihre Variablenteile unverändert bleiben.

$Horizontale Methode$ :

Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Pluszeichen dazwischen.
Löse die Klammern auf.
Ordne die gleichartigen Terme.
Addiere ihre Koeffizienten mithilfe des Distributivgesetzes.

$Beispiel$ :

Bestimme die Summe $(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)$ .

\begin{aligned}(2x^3+7x^2+3x+5)+(6x^3+2x^2+4x+1)&=(2+6)x^3+(7+2)x^2+(3+4)x+(5+1) \\ &=8x^3+9x^2+7x+6\end{aligned}

Polynomsubtraktion

Bei der Subtraktion $wechseln zuerst alle Terme des zweiten Polynoms ihr Vorzeichen$ . Danach werden die gleichartigen Terme wie bei einer Addition zusammengefasst.

$Horizontale Methode$ :

Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Minuszeichen dazwischen.
Löse die Klammern auf. $Achte darauf$ : Das Minus vor der zweiten Klammer ändert das Vorzeichen jedes Terms darin.
Ordne die gleichartigen Terme.
Fasse ihre Koeffizienten zusammen.

$Beispiel$ :

Bestimme die Differenz $(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)$ .

\begin{aligned}(9x^3+4x^2+6x+5)-(2x^3+3x^2+3x+4)&=9x^3+4x^2+6x+5-2x^3-3x^2-3x-4 \\ &=(9-2)x^3+(4-3)x^2+(6-3)x+(5-4) \\ &=7x^3+x^2+3x+1\end{aligned}

Vertikale Methode

Polynome lassen sich auch untereinander schreiben, ähnlich wie bei der schriftlichen Addition und Subtraktion von Zahlen.

$Schritte$ :

Schreibe beide Polynome untereinander.
Ordne $gleichartige Terme in derselben Spalte$ an.
Fehlt ein Term, lasse die Stelle frei oder ergänze den Koeffizienten $0$ .
Addiere oder subtrahiere die Koeffizienten spaltenweise.

$Beispiel für vertikale Addition$ :

\begin{array}{rrrrr} & 2x^3 & +7x^2 & +3x & +5 \\ + & 6x^3 & +2x^2 & +4x & +1 \\ \hline & 8x^3 & +9x^2 & +7x & +6 \end{array}

$Beispiel für vertikale Subtraktion$ :

\begin{array}{rrrrr} & 9x^3 & +4x^2 & +6x & +5 \\ - & 2x^3 & +3x^2 & +3x & +4 \\ \hline & 7x^3 & +1x^2 & +3x & +1 \end{array}

Die horizontale Methode gruppiert gleichartige Terme zunächst innerhalb jedes Polynoms. Die vertikale Methode richtet gleiche Potenzen spaltenweise aus. Beide Verfahren addieren oder subtrahieren dieselben Koeffizienten und liefern deshalb dasselbe Ergebnis.

Grafische Addition und Subtraktion von Polynomfunktionen

Beim Zusammenfassen von Graphen bleibt $die Eingabe gleich$ . Addiere oder subtrahiere nur die Funktionswerte an dieser waagerechten Position. Die waagerechten Koordinaten werden nicht addiert. Die folgenden drei Funktionen zeigen ein lineares, ein quartisches und ein kubisches Beispiel.

Diagramm von

f(x) = x + 1

Lineare Funktion vom Grad

1

Diagramm von

g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Funktion vom Grad

4

Diagramm von

h(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x

Funktion vom Grad

3

Skizzierung des Summendiagramms und Differenzdiagramms

Lies $beide Graphenhöhen bei derselben Eingabe$ ab. Bei $x=1$ gilt zum Beispiel $f(1)=2$ und $g(1)=-1/2$ . Die Höhe des Summengraphen beträgt daher $2-1/2=3/2$ , die Höhe des Differenzgraphen $2-(-1/2)=5/2$ .

Eingabe	Erster Wert	Zweiter Wert	Summe	Differenz
-2	-1	1	0	-2
-1	0	-0.5	-0.5	0.5
0	1	1	2	0
1	2	-0.5	1.5	2.5
2	3	1	4	2

Jeder neue Punkt behält dieselbe Eingabe. Verbinde die Punkte zu einer Skizze. Da die Tabelle nur wenige Eingaben enthält, bleibt der Verlauf dazwischen eine Näherung, bis du weitere Punkte oder die Funktionsgleichung geprüft hast.

Beispielskizzen

Die folgenden Graphen zeigen $Ausgangsfunktionen und Ergebnis im selben Koordinatensystem$ . Vergleiche die drei Höhen bei der Eingabe eins. Addition und Subtraktion ergeben unterschiedliche Kurven, obwohl die Ausgangsfunktionen gleich bleiben.

Diagramm von

f(x) + g(x)

f(x) = x + 1

, und

g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Das Ergebnis von

f(x) + g(x)

ist

x + 1 + 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Diagramm von

f(x) - g(x)

f(x) = x + 1

, und

g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Das Ergebnis von

f(x) - g(x)

ist

x + 1 - (0{,}5x^4 - 2x^2 + 1)

Die Graphen von $f(x) + h(x), \space g(x) + h(x), \space f(x) - h(x), \space \text{und} \space g(x) - h(x)$ folgen derselben Regel. Addiere oder subtrahiere für jeden $x$ -Wert die zugehörigen $y$ -Werte der Ausgangsgraphen.

Übung

Gegeben sind

A(x)=3x^3-2x^2+5x-4

Bestimme $Summe und Differenz$ $A(x)+B(x)$ und $A(x)-B(x)$ .

Ausführliche Lösung

Bei der Addition fassen wir die $Koeffizienten gleicher Potenzen$ zusammen:

\begin{aligned}A(x)+B(x)&=(3-1)x^3+(-2+6)x^2+(5-3)x+(-4+7) \\ &=2x^3+4x^2+2x+3\end{aligned}

Bei der Subtraktion verteilen wir zuerst das Minuszeichen auf jeden Term von $B(x)$ und fassen danach gleichartige Terme zusammen:

\begin{aligned}A(x)-B(x)&=3x^3-2x^2+5x-4-(-x^3+6x^2-3x+7) \\ &=(3+1)x^3+(-2-6)x^2+(5+3)x+(-4-7) \\ &=4x^3-8x^2+8x-11\end{aligned}

Gleichartige Terme zusammenfassen

Gleichartige Terme erkennen

$Gleichartige Terme$ enthalten genau dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Nur ihre Koeffizienten dürfen verschieden sein.

$Beispiele für gleichartige Terme$ :

$3x, \space -7x, \space -\frac{1}{5}x$ enthalten alle die Variable $x$ mit dem Exponenten $1$ .
$\frac{1}{2}x^3, \space 4x^3, \space -2x^3$ enthalten alle die Variable $x$ mit dem Exponenten $3$ .
$2x^2yz^3, \space \frac{3}{4}x^2yz^3, \space -5z^3x^2y$ enthalten alle $x$ mit dem Exponenten $2$ , $y$ mit dem Exponenten $1$ und $z$ mit dem Exponenten $3$ . Die Reihenfolge der Faktoren spielt dabei keine Rolle.

$Beispiele für nicht gleichartige Terme$ :

$11x$ und $4x^2$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ .
$4x^3$ und $-2x^4$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ .
$4x^2$ und $-x^5$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ .
In $\frac{3}{4}x^2yz^3$ und $2x^2y$ fehlt im zweiten Term der Faktor $z^3$ .
$\frac{3}{4}x^2yz^3$ und $-7xy^2z^3$ haben unterschiedliche Exponenten von $x$ und $y$ .

Polynomaddition

Bei der Addition zweier Polynome werden $die Koeffizienten gleichartiger Terme addiert$ , während ihre Variablenteile unverändert bleiben.

$Horizontale Methode$ :

Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Pluszeichen dazwischen.
Löse die Klammern auf.
Ordne die gleichartigen Terme.
Addiere ihre Koeffizienten mithilfe des Distributivgesetzes.

$Beispiel$ :

Bestimme die Summe $(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)$ .

\begin{aligned}(2x^3+7x^2+3x+5)+(6x^3+2x^2+4x+1)&=(2+6)x^3+(7+2)x^2+(3+4)x+(5+1) \\ &=8x^3+9x^2+7x+6\end{aligned}

Polynomsubtraktion

Bei der Subtraktion $wechseln zuerst alle Terme des zweiten Polynoms ihr Vorzeichen$ . Danach werden die gleichartigen Terme wie bei einer Addition zusammengefasst.

$Horizontale Methode$ :

Schreibe beide Polynome in Klammern und setze ein Minuszeichen dazwischen.
Löse die Klammern auf. $Achte darauf$ : Das Minus vor der zweiten Klammer ändert das Vorzeichen jedes Terms darin.
Ordne die gleichartigen Terme.
Fasse ihre Koeffizienten zusammen.

$Beispiel$ :

Bestimme die Differenz $(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)$ .

\begin{aligned}(9x^3+4x^2+6x+5)-(2x^3+3x^2+3x+4)&=9x^3+4x^2+6x+5-2x^3-3x^2-3x-4 \\ &=(9-2)x^3+(4-3)x^2+(6-3)x+(5-4) \\ &=7x^3+x^2+3x+1\end{aligned}

Vertikale Methode

Polynome lassen sich auch untereinander schreiben, ähnlich wie bei der schriftlichen Addition und Subtraktion von Zahlen.

$Schritte$ :

Schreibe beide Polynome untereinander.
Ordne $gleichartige Terme in derselben Spalte$ an.
Fehlt ein Term, lasse die Stelle frei oder ergänze den Koeffizienten $0$ .
Addiere oder subtrahiere die Koeffizienten spaltenweise.

$Beispiel für vertikale Addition$ :

\begin{array}{rrrrr} & 2x^3 & +7x^2 & +3x & +5 \\ + & 6x^3 & +2x^2 & +4x & +1 \\ \hline & 8x^3 & +9x^2 & +7x & +6 \end{array}

$Beispiel für vertikale Subtraktion$ :

\begin{array}{rrrrr} & 9x^3 & +4x^2 & +6x & +5 \\ - & 2x^3 & +3x^2 & +3x & +4 \\ \hline & 7x^3 & +1x^2 & +3x & +1 \end{array}

Grafische Addition und Subtraktion von Polynomfunktionen

Diagramm von

f(x) = x + 1

Lineare Funktion vom Grad

1

Diagramm von

g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Funktion vom Grad

4

Diagramm von

h(x) = -0{,}5x^3 + 1{,}5x

Funktion vom Grad

3

Skizzierung des Summendiagramms und Differenzdiagramms

Eingabe	Erster Wert	Zweiter Wert	Summe	Differenz
-2	-1	1	0	-2
-1	0	-0.5	-0.5	0.5
0	1	1	2	0
1	2	-0.5	1.5	2.5
2	3	1	4	2

Beispielskizzen

Diagramm von

f(x) + g(x)

f(x) = x + 1

, und

g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Das Ergebnis von

f(x) + g(x)

ist

x + 1 + 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Diagramm von

f(x) - g(x)

f(x) = x + 1

, und

g(x) = 0{,}5x^4 - 2x^2 + 1

Das Ergebnis von

f(x) - g(x)

ist

x + 1 - (0{,}5x^4 - 2x^2 + 1)

Übung

Gegeben sind

A(x)=3x^3-2x^2+5x-4

Bestimme $Summe und Differenz$ $A(x)+B(x)$ und $A(x)-B(x)$ .

Ausführliche Lösung

Bei der Addition fassen wir die $Koeffizienten gleicher Potenzen$ zusammen:

\begin{aligned}A(x)+B(x)&=(3-1)x^3+(-2+6)x^2+(5-3)x+(-4+7) \\ &=2x^3+4x^2+2x+3\end{aligned}

Bei der Subtraktion verteilen wir zuerst das Minuszeichen auf jeden Term von $B(x)$ und fassen danach gleichartige Terme zusammen:

\begin{aligned}A(x)-B(x)&=3x^3-2x^2+5x-4-(-x^3+6x^2-3x+7) \\ &=(3+1)x^3+(-2-6)x^2+(5+3)x+(-4-7) \\ &=4x^3-8x^2+8x-11\end{aligned}