Polynomkonzept

Aufbau eines Monoms

Ein Monom ist ein einzelner Term aus einem Koeffizienten und Variablen mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten: $0,1,2,3,\ldots$. Der Koeffizient darf negativ oder ein Bruch sein. Die Exponenten der Variablen müssen dagegen diese Bedingung erfüllen.

In $2x^2y$ ist der Koeffizient die Zahl $2$. Der Exponent von $x$ ist $2$, der nicht ausgeschriebene Exponent von $y$ ist $1$. Auch eine Konstante ist ein Monom, denn sie hängt von keiner Variablen ab.

Definition des Polynoms

Ein Polynom ist eine endliche Summe von Monomen. Ein einzelnes Monom ist ebenfalls ein Polynom. Prüfe jeden Term darauf, ob alle Variablenexponenten die Bedingung erfüllen.

Subtraktion als Addition

Ein Minuszeichen verhindert nicht, dass ein Ausdruck ein Polynom ist. Subtrahieren bedeutet, einen Term mit negativem Koeffizienten zu addieren. Die Variablen und ihre Exponenten bleiben dabei unverändert:

Setze $x=1$ und $y=2$ ein. Beide Schreibweisen ergeben $8-3=8+(-3)=5$. Es ändert sich nur die Schreibweise der Rechenoperation, weder der Wert noch die Exponenten der Variablen.

Übung

Entscheide für jeden Ausdruck, ob er in den angegebenen Variablen ein Polynom ist. Begründe deine Entscheidung mit der Exponentenregel. Prüfe die Hochzahl jeder Variablen in jedem Term, auch bei Termen, die als Bruch oder Wurzel geschrieben sind, bevor du entscheidest.

1. $7x^4-2x+9$ in $x$
2. $\sqrt{x}+1$ in $x$
3. $\frac{3}{x^2}-5$ in $x$
4. $5y^2z^3-2yz+4$ in $y$ und $z$

Ausführliche Lösung

Jeder Schritt nennt die entscheidende Bedingung und die Exponentenregel, die über die Antwort entscheidet.

1. Polynom. Die Exponenten von $x$ sind $4$, $1$ und $0$.
2. Kein Polynom. Wegen $\sqrt{x}=x^{1/2}$ ist der Exponent $1/2$ keine nichtnegative ganze Zahl.
3. Kein Polynom. Wegen $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$ ist der Exponent $-2$ negativ.
4. Polynom. Alle Exponenten von $y$ und $z$ sind nichtnegative ganze Zahlen. Fehlt eine Variable in einem Term, hat sie dort den Exponenten $0$.