Polynomkonzept

Die Ausdrücke lassen sich in zwei Gruppen einteilen:

1. Gruppe $1$ (Monome): $2x^2y$, $-8$, $1{,}24k^4$
2. Gruppe $2$ (keine Monome): $\sqrt[3]{p}$, $\frac{2}{m}$,

Die Ausdrücke in Gruppe $1$ heißen Monome.

Was ist ein Monom?

Ein Monom ist eine Zahl, eine Variable mit einem nichtnegativen ganzzahligen Exponenten ($0, 1, 2, 3, \dots$) oder ein Produkt aus einer Zahl und solchen Variablen.

Schauen wir genauer hin, warum Gruppe $1$ aus Monomen besteht und Gruppe $2$ nicht:

• Gruppe $1$ (Monome):

  • $2x^2y$:

    Ein Produkt aus der Zahl $2$ und den Variablen $x$ und $y$ mit den nichtnegativen ganzzahligen Exponenten $2$ und $1$.

  • $-8$:

    Eine Konstante, also eine Zahl ohne Variable. Sie lässt sich auch als $-8x^0$ schreiben.

  • $1{,}24k^4$:

    Ein Produkt aus der Zahl $1{,}24$ und der Variablen $k$ mit dem nichtnegativen ganzzahligen Exponenten $4$.

• Gruppe $2$ (keine Monome):

  • $\sqrt[3]{p} = p^{1/3}$:

Das entscheidende Merkmal eines Monoms lautet also: Alle Variablenexponenten sind nichtnegative ganze Zahlen. Die Zahl, mit der der Variablenteil multipliziert wird, heißt Koeffizient. In $2x^2y$ ist das zum Beispiel $2$.

Definition des Polynoms

Mit diesem Baustein können wir nun ein Polynom definieren.

Ein Polynom ist ein einzelnes Monom oder eine Summe beziehungsweise Differenz aus mehreren Monomen.

Betrachte die folgenden Beispiele:

Wir prüfen nun, welche Ausdrücke Polynome sind:

1. $4x^3y - 3x^2$
   • Der Term $4x^3y$ ist ein Monom.
   • Der Term $-3x^2$ ist ein Monom.
   • Fazit: ein Polynom, denn hier werden zwei Monome subtrahiert.
2. $x + 2\sqrt{x}$
   • Der Term $x$ ist ein Monom.
   • Der Term $2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$ ist kein Monom, denn der Exponent ist keine nichtnegative ganze Zahl.
3. $2x^3 - 5x^{-2} + 1$
   • Der Term $2x^3$ ist ein Monom.

Addition und Subtraktion in Polynomen

Die Definition verwendet eine Summe von Monomen, während Beispiel $1$ mit der Subtraktion $4x^3y - 3x^2$ geschrieben ist. Zwischen beiden Formen besteht kein Widerspruch.

Eine Subtraktion lässt sich als Addition einer negativen Zahl auffassen. Deshalb ist $4x^3y - 3x^2$ dasselbe wie $4x^3y + (-3x^2)$.

Sowohl $4x^3y$ als auch $-3x^2$ sind Monome. Ihre Summe ist daher ein Polynom, auch wenn sie ursprünglich als Subtraktion geschrieben wurde.

Ein algebraischer Ausdruck heißt also Polynom, wenn alle seine Terme Monome sind, das heißt, jede Variable hat einen nichtnegativen ganzzahligen Exponenten.

Übung

Entscheide für jeden Ausdruck, ob er in den angegebenen Variablen ein Polynom ist. Begründe deine Entscheidung mit der Exponentenregel.

1. $7x^4-2x+9$ in $x$
2. $\sqrt{x}+1$ in $x$
3. $\frac{3}{x^2}-5$ in $x$
4. $5y^2z^3-2yz+4$ in $y$ und $z$

Ausführliche Lösung

1. Polynom. Die Exponenten von $x$ sind $4$, $1$ und $0$.
2. Kein Polynom. Wegen $\sqrt{x}=x^{1/2}$ ist der Exponent $1/2$ keine nichtnegative ganze Zahl.
3. Kein Polynom. Wegen $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$ ist der Exponent $-2$ negativ.
4. Polynom. Alle Exponenten von $y$ und $z$ sind nichtnegative ganze Zahlen. Fehlt eine Variable in einem Term, hat sie dort den Exponenten $0$.

Der Exponent $1/3$ von $p$ ist keine nichtnegative ganze Zahl.