Polynomgrad

Grad eines Monoms

Die folgenden Regeln für Monomgrade setzen einen $Koeffizienten ungleich null$ voraus. Das Nullpolynom wird getrennt behandelt, weil es keinen von null verschiedenen Term besitzt.

Jedes Monom besitzt einen $Grad$ . Er wird durch die Exponenten seiner Variablen bestimmt. Bei einer Variablen ist der Grad die Hochzahl selbst, bei mehreren Variablen die Summe aller Hochzahlen des Terms.

Grad eines Monoms mit einer Variablen

Bei einem Monom mit nur einer Variablen, etwa $ax^n$ , ist der Grad $gleich dem Exponenten$ $n$ .

\deg(ax^n)=n,\quad a\neq0

$Beispiele$ :

Das Monom $4x^5$ hat den Grad $5$ .
Das Monom $0{,}12x$ (oder $0{,}12x^1$ ) hat einen Grad von $1$ .

Grad eines Monoms mit mehreren Variablen

Wenn ein Monom mehr als eine Variable hat, ist sein Grad die $Summe$ aller Variablenexponenten.

\deg(cx_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_k^{p_k})=p_1+p_2+\cdots+p_k,\quad c\neq0

$Beispiele$ :

Das Monom $\frac{3}{4}x^2y^7$ hat den Grad $2 + 7 = 9$ .
Das Monom $2{,}17x^3yz^3$ hat den Grad $3 + 1 + 3 = 7$ , denn $y = y^1$ .

Grad einer Konstante

Eine von null verschiedene Konstante wie $5$ hat den $Grad$ $0$ . Schließlich können wir sie als $5x^0$ schreiben, weil $x^0 = 1$ gilt.

Die Tabelle fasst die bisherigen Beispiele zusammen:

Monom	Grad	Erklärung
$4x^5$	$5$	Der Exponent von $x$ ist $5$ .
$\frac{3}{4}x^2y^7$	$9$	Summe der Exponenten $2+7=9$ .
$0{,}12x$	$1$	Der Exponent von $x$ ist $1$ .
$2{,}17x^3yz^3$	$7$	Summe der Exponenten $3+1+3=7$ .
$10$	$0$	Konstante ungleich Null. Kann als $10x^0$ geschrieben werden.

Bestimmen des Grades eines Polynoms

Sobald der Grad jedes einzelnen Terms feststeht, lässt sich auch der Grad des gesamten Polynoms bestimmen.

$Der Grad eines Polynoms$ ist der $höchste Grad$ unter seinen Termen.

$Schritte zur Bestimmung des Grades eines Polynoms$ :

Zerlege das Polynom in seine einzelnen Terme.
Bestimme den Grad jedes Terms.
Wähle den höchsten dieser Grade. Er ist der Grad des Polynoms.

Fasse $gleichartige Terme zuerst zusammen$ . Terme mit hohen Exponenten können sich aufheben. Liest du die höchste Potenz vor dem Vereinfachen ab, kann deshalb der falsche Grad entstehen. Zum Beispiel:

x^4-x^4+3x^2+1=3x^2+1\quad\Rightarrow\quad\deg(3x^2+1)=2

Nach dem Zusammenfassen ist der Koeffizient der vierten Potenz null. Der höchste verbleibende Term hat den Grad zwei.

$Beispiel 1$ :

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

8x^3 - 36x^2 + 54x - 27

Der Term $8x^3$ hat den Grad $3$ .
Der Term $-36x^2$ hat den Grad $2$ .
Der Term $54x$ (oder $54x^1$ ) hat den Grad $1$ .
Der Term $-27$ (Konstante) hat den Grad $0$ .

Der höchste Termgrad ist $3$ . Daher hat das Polynom den Grad $3$ .

$Beispiel 2$ :

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

5x^4y^2 + xy^2 - 2x^5y^6

Der Term $5x^4y^2$ hat den Grad $4 + 2 = 6$ .
Der Term $xy^2$ (oder $x^1y^2$ ) hat den Grad $1 + 2 = 3$ .
Der Term $-2x^5y^6$ hat den Grad $5 + 6 = 11$ .

Der höchste Termgrad ist $11$ . Daher hat das Polynom den Grad $11$ .

$Beispiel 3$ :

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

0{,}13x^3 + 1{,}56x^2 - 2{,}24x + 1{,}72

Der Term $0{,}13x^3$ hat den Grad $3$ .
Der Term $1{,}56x^2$ hat den Grad $2$ .
Der Term $-2{,}24x$ hat den Grad $1$ .
Der Term $1{,}72$ hat den Grad $0$ .

Der höchste Grad ist $3$ . Daher ist der Grad dieses Polynoms $3$ .

Grad des Nullpolynoms

Hat auch das Nullpolynom $0$ den Grad $0$ , weil sich $0$ als $0x^0$ schreiben lässt?

Allgemein in der Mathematik:

$Konstanten ungleich Null$ (wie $5, -27, 1{,}72$ ) haben einen Grad von $0$ .
Das $Nullpolynom$ besitzt keinen von null verschiedenen Term. Eine gebräuchliche Konvention lässt seinen Grad $undefiniert$ . Eine andere setzt ihn formal auf $negative Unendlichkeit$ ( $-\infty$ ), damit Regeln wie $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ auch dann gelten, wenn $P$ , $Q$ oder beide das Nullpolynom sind.

Die folgenden Aufgaben verwenden die erste Konvention, sodass der Grad des Nullpolynoms undefiniert bleibt. Von null verschiedene Konstanten haben den Grad $0$ . Bei jedem anderen Polynom entscheidet der Term mit dem höchsten Grad.

Übung

Bestimme den Grad von

P(x,y)=4x^3y^2-7x^2y^5+6

Erkläre anschließend, warum dieselbe $Gradregel$ dem Nullpolynom nicht den Grad $0$ zuweisen kann.

Ausführliche Lösung

Wir addieren in jedem $von null verschiedenen Term$ die Exponenten:

$4x^3y^2$ hat den Grad $3+2=5$ .
$-7x^2y^5$ hat den Grad $2+5=7$ .
$6$ hat den Grad $0$ .

Der größte Termgrad ist $7$ , also gilt $\deg P=7$ .

Das Nullpolynom besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad als größter gewählt werden könnte. Deshalb ist sein Grad undefiniert. Würde man den Grad auf $0$ setzen, wären einige Regeln für Polynomgrade nicht mehr gültig.

Nimm beispielsweise $P(x)=x$ und $Q(x)=0$ . Hätte das Nullpolynom den Grad null, hätten die beiden Seiten der Produktregel unterschiedliche Werte:

\underbrace{\deg(x\cdot0)}_{0}\ne\underbrace{\deg x+\deg0}_{1+0=1}

Grad eines Monoms

Die folgenden Regeln für Monomgrade setzen einen $Koeffizienten ungleich null$ voraus. Das Nullpolynom wird getrennt behandelt, weil es keinen von null verschiedenen Term besitzt.

Grad eines Monoms mit einer Variablen

Bei einem Monom mit nur einer Variablen, etwa $ax^n$ , ist der Grad $gleich dem Exponenten$ $n$ .

\deg(ax^n)=n,\quad a\neq0

$Beispiele$ :

Das Monom $4x^5$ hat den Grad $5$ .
Das Monom $0{,}12x$ (oder $0{,}12x^1$ ) hat einen Grad von $1$ .

Grad eines Monoms mit mehreren Variablen

Wenn ein Monom mehr als eine Variable hat, ist sein Grad die $Summe$ aller Variablenexponenten.

\deg(cx_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_k^{p_k})=p_1+p_2+\cdots+p_k,\quad c\neq0

$Beispiele$ :

Das Monom $\frac{3}{4}x^2y^7$ hat den Grad $2 + 7 = 9$ .
Das Monom $2{,}17x^3yz^3$ hat den Grad $3 + 1 + 3 = 7$ , denn $y = y^1$ .

Grad einer Konstante

Eine von null verschiedene Konstante wie $5$ hat den $Grad$ $0$ . Schließlich können wir sie als $5x^0$ schreiben, weil $x^0 = 1$ gilt.

Die Tabelle fasst die bisherigen Beispiele zusammen:

Monom	Grad	Erklärung
$4x^5$	$5$	Der Exponent von $x$ ist $5$ .
$\frac{3}{4}x^2y^7$	$9$	Summe der Exponenten $2+7=9$ .
$0{,}12x$	$1$	Der Exponent von $x$ ist $1$ .
$2{,}17x^3yz^3$	$7$	Summe der Exponenten $3+1+3=7$ .
$10$	$0$	Konstante ungleich Null. Kann als $10x^0$ geschrieben werden.

Bestimmen des Grades eines Polynoms

Sobald der Grad jedes einzelnen Terms feststeht, lässt sich auch der Grad des gesamten Polynoms bestimmen.

$Der Grad eines Polynoms$ ist der $höchste Grad$ unter seinen Termen.

$Schritte zur Bestimmung des Grades eines Polynoms$ :

Zerlege das Polynom in seine einzelnen Terme.
Bestimme den Grad jedes Terms.
Wähle den höchsten dieser Grade. Er ist der Grad des Polynoms.

x^4-x^4+3x^2+1=3x^2+1\quad\Rightarrow\quad\deg(3x^2+1)=2

Nach dem Zusammenfassen ist der Koeffizient der vierten Potenz null. Der höchste verbleibende Term hat den Grad zwei.

$Beispiel 1$ :

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

8x^3 - 36x^2 + 54x - 27

Der Term $8x^3$ hat den Grad $3$ .
Der Term $-36x^2$ hat den Grad $2$ .
Der Term $54x$ (oder $54x^1$ ) hat den Grad $1$ .
Der Term $-27$ (Konstante) hat den Grad $0$ .

Der höchste Termgrad ist $3$ . Daher hat das Polynom den Grad $3$ .

$Beispiel 2$ :

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

5x^4y^2 + xy^2 - 2x^5y^6

Der Term $5x^4y^2$ hat den Grad $4 + 2 = 6$ .
Der Term $xy^2$ (oder $x^1y^2$ ) hat den Grad $1 + 2 = 3$ .
Der Term $-2x^5y^6$ hat den Grad $5 + 6 = 11$ .

Der höchste Termgrad ist $11$ . Daher hat das Polynom den Grad $11$ .

$Beispiel 3$ :

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

0{,}13x^3 + 1{,}56x^2 - 2{,}24x + 1{,}72

Der Term $0{,}13x^3$ hat den Grad $3$ .
Der Term $1{,}56x^2$ hat den Grad $2$ .
Der Term $-2{,}24x$ hat den Grad $1$ .
Der Term $1{,}72$ hat den Grad $0$ .

Der höchste Grad ist $3$ . Daher ist der Grad dieses Polynoms $3$ .

Grad des Nullpolynoms

Hat auch das Nullpolynom $0$ den Grad $0$ , weil sich $0$ als $0x^0$ schreiben lässt?

Allgemein in der Mathematik:

$Konstanten ungleich Null$ (wie $5, -27, 1{,}72$ ) haben einen Grad von $0$ .
Das $Nullpolynom$ besitzt keinen von null verschiedenen Term. Eine gebräuchliche Konvention lässt seinen Grad $undefiniert$ . Eine andere setzt ihn formal auf $negative Unendlichkeit$ ( $-\infty$ ), damit Regeln wie $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ auch dann gelten, wenn $P$ , $Q$ oder beide das Nullpolynom sind.

Übung

Bestimme den Grad von

P(x,y)=4x^3y^2-7x^2y^5+6

Erkläre anschließend, warum dieselbe $Gradregel$ dem Nullpolynom nicht den Grad $0$ zuweisen kann.

Ausführliche Lösung

Wir addieren in jedem $von null verschiedenen Term$ die Exponenten:

$4x^3y^2$ hat den Grad $3+2=5$ .
$-7x^2y^5$ hat den Grad $2+5=7$ .
$6$ hat den Grad $0$ .

Der größte Termgrad ist $7$ , also gilt $\deg P=7$ .

Nimm beispielsweise $P(x)=x$ und $Q(x)=0$ . Hätte das Nullpolynom den Grad null, hätten die beiden Seiten der Produktregel unterschiedliche Werte:

\underbrace{\deg(x\cdot0)}_{0}\ne\underbrace{\deg x+\deg0}_{1+0=1}