Jeden Term mit jedem Term des anderen Polynoms multiplizieren
Auch die Addition und Subtraktion von Polynomen folgt vertrauten Rechenregeln. Für die Multiplikation brauchen wir vor allem das Distributivgesetz.
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Die zentrale Regel lautet: Multipliziere jeden Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms.
Anschließend werden alle gleichartigen Terme zusammengefasst. Erst dann liegt das vereinfachte Ergebnis vor.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Polynommultiplikation durchzuführen, alle basieren jedoch auf dem Distributivgesetz. Die horizontale Methode schreibt jedes Teilprodukt in eine Zeile, und die Tabellenmethode legt sie in ein Raster, bevor du gleichartige Terme zusammenfasst.
Multipliziere jedes Termpaar und fasse danach gleichartige Terme zusammen. Beim ersten Produkt muss das Minuszeichen bei jeder Multiplikation mitgeführt werden. Wegen ist die Konstante am Ende positiv.
Beispiel 1
Beispiel 2:
Achte auf die negativen Terme im zweiten Faktor. Beispielsweise gilt . Die linearen Terme ergeben deshalb zusammen .
In der Tabelle lässt sich jede Multiplikation zweier Terme einzeln verfolgen. Das funktioniert ähnlich wie ein Flächenmodell bei der Multiplikation zweier Zahlen.
Beispielsweise kann die Multiplikation als Fläche eines Rechtecks mit den Seiten und angesehen werden.
Die Gesamtfläche beträgt .
Der gleiche Ansatz kann auf Polynome angewendet werden.
Die vier Teilflächen erklären die vier Produkte in der Tabelle. Jede Teilfläche erhält ihre Breite aus einer Spalte und ihre Höhe aus einer Zeile. Zusammen ergeben sie die Fläche des ganzen Rechtecks.
Beispiel 3:
Bestimme das Produkt mithilfe der Tabellenmethode.
Addiere nun alle Ergebnisse aus den Tabellenfeldern:
Beispiel 4:
Bestimme das Produkt mithilfe der Tabellenmethode.
Addiere alle Ergebnisse aus den Tabellenfeldern:
Eine Polynomtabelle darf auch negative Terme enthalten. Ihre Felder zeigen dann algebraische Produkte, keine negativen geometrischen Flächen.
Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Die Tabellenmethode ordnet lediglich alle Teilprodukte so an, dass kein Term übersehen wird.
Multipliziere aus und fasse gleichartige Terme zusammen. Multipliziere beide Terme des ersten Faktors aus und fasse anschließend die Terme mit derselben Hochzahl zusammen. Das Produkt eines linearen und eines quadratischen Faktors hat den Grad drei, sodass keine höhere Hochzahl als auftreten kann.
Wir multiplizieren beide Terme des ersten Faktors mit jedem Term des zweiten Faktors. Zunächst bleiben alle Teilprodukte sichtbar, erst danach werden gleichartige Terme zusammengefasst:
Auch der Grad passt: Ein linearer Faktor multipliziert mit einem quadratischen Faktor hat den Grad . Das Produkt der Leitterme stimmt mit dem Leitterm des Ergebnisses überein.
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