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Hier:
Genau dieses Prinzip übertragen wir nun auf Polynome.
Der Divisionsalgorithmus beschreibt, wie Dividend, Divisor, Quotient und Rest zusammenhängen.
Wenn (der Dividend) und (der Divisor) zwei Polynome mit sind, dann gibt es eindeutige Polynome (der Quotient) und (der Rest), sodass:
Äquivalent dazu gilt:
Die Polynomidentität gilt für jedes . Die Bruchform ist dagegen nur für Werte mit definiert. In beiden Formen muss der Grad von kleiner sein als der Grad von . Ist die Division ohne Rest möglich, gilt .
Der Divisor darf nicht das Nullpolynom sein. Er darf aber bei einzelnen Eingaben null werden, etwa bei . Das Verbot der Division durch null betrifft die Bruchform, nicht die Polynomidentität.
Terminologie:
Anschauliches Beispiel:
Die Division von durch ergibt:
Für den Quotienten dividierst du die führenden Terme, multiplizierst mit dem Divisor und subtrahierst das gesamte Produkt. Wiederhole diese Schritte, bis der Rest einen kleineren Grad als der Divisor hat.
| Term des Quotienten | Subtrahiertes Polynom | Vorläufiger Rest |
|---|---|---|
Das Ergebnis der Division kann gemäß dem Algorithmus in zwei Formen geschrieben werden:
Bruchform:
Multiplikationsform:
Der Rest hat den Grad und damit einen kleineren Grad als der Divisor mit Grad . Diese Bedingung zeigt, dass die Division beendet ist.
Prüfe das Ergebnis mit dem Distributivgesetz. Multipliziere jeden Term des Quotienten mit jedem Term des Divisors. Fasse anschließend gleichartige Terme zusammen und addiere den Rest:
Der quadratische Koeffizient ergibt , der lineare Koeffizient und die Konstante . Damit stimmen alle Terme mit dem ursprünglichen Polynom überein.
Dividiere durch . Bestimme Quotient und Rest und überprüfe das Ergebnis anschließend mit dem Divisionsalgorithmus. Setze den Dividenden als zusammen und prüfe, ob jeder Term übereinstimmt.
Da der Divisor lautet, verwenden wir im Horner-Schema:
Der Quotient ist , der Rest ist . Zur Kontrolle setzen wir Divisor, Quotient und Rest wieder zusammen:
Damit gilt
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