Grundkonzept der Polynomdivision
Die Polynomdivision ähnelt der uns bekannten Division ganzer Zahlen. Wenn wir eine Zahl durch eine andere dividieren, erhalten wir einen Quotienten und einen Rest.
Teilen wir zum Beispiel durch :
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Die Polynomdivision ähnelt der uns bekannten Division ganzer Zahlen. Wenn wir eine Zahl durch eine andere dividieren, erhalten wir einen Quotienten und einen Rest.
Teilen wir zum Beispiel durch :
Hier:
Genau dieses Prinzip übertragen wir nun auf Polynome.
Der Divisionsalgorithmus beschreibt, wie Dividend, Divisor, Quotient und Rest zusammenhängen.
Wenn (der Dividend) und (der Divisor) zwei Polynome mit sind, dann gibt es eindeutige Polynome (der Quotient) und (der Rest), sodass:
Äquivalent dazu gilt:
Die Polynomidentität gilt für jedes . Die Bruchform ist dagegen nur für Werte mit definiert. In beiden Formen muss der Grad von kleiner sein als der Grad von . Ist die Division ohne Rest möglich, gilt .
Terminologie:
Anschauliches Beispiel:
Die Division von durch ergibt:
Dies kann gemäß dem Algorithmus in zwei Formen geschrieben werden:
Bruchform:
Multiplikationsform:
Der Rest hat den Grad und damit einen kleineren Grad als der Divisor mit Grad . Diese Bedingung zeigt, dass die Division beendet ist.
Zur Kontrolle multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor und addieren anschließend den Rest.
Wir prüfen die Gleichung .
Erweitern wir die rechte Seite:
Die rechte Seite ergibt wieder den ursprünglichen Dividenden. Damit ist das Divisionsergebnis bestätigt.
Dividiere durch . Bestimme Quotient und Rest und überprüfe das Ergebnis anschließend mit dem Divisionsalgorithmus.
Da der Divisor lautet, verwenden wir im Horner-Schema:
Der Quotient ist , der Rest ist . Zur Kontrolle setzen wir Divisor, Quotient und Rest wieder zusammen:
Damit gilt