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Eine gewöhnliche Gleichung kann nur für bestimmte Werte erfüllt sein. So gilt nur für . Eine Polynomidentität gilt dagegen für alle Werte der Variablen.
Diese Polynomidentitäten helfen dir beim Ausmultiplizieren und Faktorisieren:
Diese Identitäten lassen sich in beide Richtungen lesen: von der Produktform zur entwickelten Form oder von der entwickelten Form zur Faktorform. Welche Richtung passt, hängt von der geforderten Operation ab.
Entferne aus der rechten oberen Ecke eines Quadrats mit Seitenlänge ein Quadrat mit Seitenlänge . Die zwei farbigen Teile behalten denselben Flächeninhalt, wenn du daraus ein Rechteck mit Seitenlängen und legst. Das größere Teil wird gedreht, nicht vergrößert.
Die Zeichnung zeigt und . Für die Flächenkonstruktion gilt . Die algebraische Identität gilt dagegen für alle reellen Zahlen.
Um eine Identität zu beweisen, formst du eine Seite mit gültigen Rechenschritten in die andere um. Jeder Schritt muss für alle Variablenwerte gelten. Um eine Identität zu widerlegen, genügt ein einziger Wert, bei dem die Seiten verschieden sind.
Entscheide durch Ausmultiplizieren oder ein Gegenbeispiel, ob die folgenden Gleichungen Identitäten sind.
Beispiel 1. Verwende die zweite binomische Formel mit und :
Das Ergebnis stimmt für alle Variablenwerte mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher eine Polynomidentität.
Beispiel 2. Setze auf beiden Seiten ein:
Links erhältst du , rechts . Dieser Unterschied zeigt, dass die Gleichung keine Identität ist. Richtig lautet die Umformung:
Entscheide, ob jede Gleichung eine Identität ist. Zeige eine für alle Werte gültige Umformung oder gib ein Gegenbeispiel an.
Gleichheit bei einem einzelnen Wert beweist noch keine Identität. Bei der ersten Gleichung stimmen beide Seiten zum Beispiel für den Wert null überein. Bei einem anderen Wert können sie trotzdem verschieden sein.
Aufgabe 1. Wähle :
Die Seiten unterscheiden sich. Die Gleichung ist keine Identität. Die gemischten Terme in der dritten Potenz dürfen nicht entfallen:
Aufgabe 2. Multipliziere das Quadrat aus und behalte die zusätzliche Konstante bei:
Das Ergebnis stimmt für alle Variablenwerte mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher eine Polynomidentität.
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