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Der Graph einer Polynomfunktion zeigt, wie sich der Funktionswert verändert, wenn sich der Eingabewert x ändert. Seine Form hängt vom Grad und von den Koeffizienten der Funktion ab.
Ein möglicher Einstieg besteht darin, mehrere Punkte (x,y) zu berechnen, die auf dem Graphen liegen. Diese Punkte helfen beim Skizzieren, doch eine kleine Wertetabelle allein bestimmt noch nicht alle Eigenschaften des Graphen. Nullstellen, Extrempunkte und das Endverhalten liefern zusätzliche Kontrollen.
- Wähle mehrere unterschiedliche Werte für x.
- Berechne zu jedem ausgewählten x-Wert den Funktionswert y=P(x).
- Trage die Wertepaare (x,y) in eine Tabelle ein.
- Markiere die Punkte im Koordinatensystem.
- Verbinde sie mit einer glatten, stetigen Kurve.
Skizziere den Graphen der Funktion f(x)=2x+5.
Wir wählen mehrere x-Werte und berechnen y:
| x | y=f(x) | (x,y) |
|---|
| −3 | −1 | (−3,−1) |
| −2 |
Trage die Punkte ein und verbinde sie:
Skizziere den Graphen der Funktion g(x)=x2−2x−3.
| x | y=g(x) | (x,y) |
|---|
| −2 | 5 | (−2,5) |
| −1 |
Trage die Punkte ein und verbinde sie zu einer glatten Parabel:
Skizziere den Graphen der Funktion h(x)=x3+3x2−4.
| x | y=h(x) | (x,y) |
|---|
| −4 | −20 | (−4,−20) |
| −3 |
Trage die Punkte ein und verbinde sie mit einer glatten Kurve:
Graphen von Polynomfunktionen sind glatt, haben also keine scharfen Ecken, und stetig, besitzen also keine Sprünge oder Lücken. Ihre grobe Form wird stark vom Grad des Polynoms beeinflusst.
- Grad 0: P(x)=c. Der Graph ist eine horizontale Gerade.
- Grad 1: P(x)=ax+b. Der Graph ist eine Gerade.
- Grad 2: P(x)=ax2+bx+c. Der Graph ist eine Parabel.
- Grad 3: P(x)=ax3+…. Seine beiden Enden zeigen in entgegengesetzte vertikale Richtungen, und er kann höchstens zwei Extrempunkte besitzen.
- Grad 4: Der Graph kann bis zu drei Extrempunkte besitzen.
- Grad 5: Der Graph kann bis zu vier Extrempunkte besitzen.
Im Allgemeinen kann der Graph einer Polynomfunktion vom Grad n die x-Achse höchstens n-mal schneiden und besitzt höchstens n−1 Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte).
Das Endverhalten beschreibt, in welche Richtung der Graph für sehr große positive und negative Werte von x verläuft, also für x→∞ und x→−∞.
Das Endverhalten wird ausschließlich durch den Leitterm anxn bestimmt:
- Grad n (gerade oder ungerade)
- Vorzeichen des führenden Koeffizienten an (positiv oder negativ)
Es gibt 4mo¨gliche Kombinationen:
-
n gerade, an>0:
-
Für x→∞ gilt y→∞ (steigt nach rechts ↗)
-
Für x→−∞ gilt y→∞ (steigt nach links ↖)
-
Beispiele: y=x2, y=x4
-
n gerade, an<0:
-
n ungerade, an>0:
-
n ungerade, an<0:
Am Endverhalten lässt sich die grobe Form eines Polynomgraphen erkennen, ohne ihn vollständig zeichnen zu müssen.
Bestimme das Endverhalten der folgenden Funktionen:
-
f(x)=x4+2x3−2x−3
- Leitterm: x4
- Grad n=4 (Gerade)
- Führender Koeffizient an=1 (Positiv)
- Endverhalten: Steigt nach links (↖), Steigt nach rechts (↗)
-
g(x)=−x3+2x2−x+1
-
h(x)=−x6−411x5+x4+5x3+2
-
k(x)=25x5−20x4−26x3+12x2+9x−1
Der Leitterm reicht also aus, um den Verlauf des Graphen an beiden Enden vorherzusagen.
Bestimme Grad, Leitkoeffizient, reelle Nullstellen, das Verhalten an jeder Nullstelle und das Endverhalten. Beschreibe anschließend die Merkmale, die eine korrekte Skizze zeigen muss.
Das Produkt der Leitterme ist −x3. Daher hat das Polynom den Grad 3 und den Leitkoeffizienten −1.
Aus der Faktorform lassen sich die Nullstellen direkt ablesen:
- x=−1 hat die Vielfachheit 1. Dort schneidet der Graph die x-Achse.
- x=2 hat die Vielfachheit 2. Dort berührt der Graph die x-Achse und kehrt um.
Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt
Als weiterer Kontrollpunkt gilt p(0)=−4. Eine korrekte Skizze steigt also ganz links, schneidet die Achse bei (−1,0), verläuft durch (0,−4), berührt die Achse bei (2,0) und fällt ganz rechts.
| −1 | 3 | (−1,3) |
| 3 | 11 | (3,11) |
| 0 | −3 | (0,−3) |
| 1 | −4 | (1,−4) |
| 2 | −3 | (2,−3) |
| −2 | 0 | (−2,0) |
| −1 | −2 | (−1,−2) |
| 0 | −4 | (0,−4) |
| 2 | 16 | (2,16) |
Diagramm von
y=x2 (Gerade, Positiv)
Die Grafik steigt nach links und rechts.
Für x→−∞ gilt y→−∞ (fällt nach links ↙)
Beispiele: y=−x2, y=−x6
Für x→−∞ gilt y→−∞ (fällt nach links ↙)
Beispiele: y=x, y=x3, y=x5
Für x→−∞ gilt y→∞ (steigt nach links ↖)
Beispiele: y=−x, y=−x3
Endverhalten:
↖ ↗Grad n=3 (ungerade) Führender Koeffizient an=−1 (negativ) Endverhalten: Steigt nach links (↖), fällt nach rechts (↘)
- Leitterm: −x6
- Grad n=6 (Gerade)
- Führender Koeffizient an=−1 (negativ)
- Endverhalten: Fällt nach links (↙), Fällt nach rechts (↘)
- Leitterm: 25x5
- Grad n=5 (ungerade)
- Führender Koeffizient an=25 (Positiv)
- Endverhalten: Fällt nach links (↙), Steigt nach rechts (↗)
