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Manche Gleichungen bleiben für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen wahr. Eine solche Gleichung heißt Identität. Bestehen beide Seiten aus Polynomen, sprechen wir von einer Polynomidentität.
Eine gewöhnliche Gleichung kann nur für bestimmte Werte erfüllt sein. So gilt nur für . Eine Polynomidentität gilt dagegen für Werte der Variablen.
Diese Polynomidentitäten werden besonders häufig gebraucht:
Diese Identitäten lassen sich in beide Richtungen lesen: von der Produktform zur entwickelten Form oder von der entwickelten Form zur Faktorform. Welche Richtung passt, hängt von der geforderten Operation ab.
Wie lässt sich entscheiden, ob eine Gleichung tatsächlich eine Identität ist?
Identität beweisen:
Forme eine Seite der Gleichung, meist die kompliziertere, mit gültigen algebraischen Schritten um. Stimmt sie anschließend exakt mit der anderen Seite überein, ist die Gleichung für alle Variablenwerte wahr.
Identität widerlegen:
Dafür genügt ein Gegenbeispiel: Finde einen Variablenwert, für den linke und rechte Seite verschieden sind. Dann kann die Gleichung keine Identität sein.
Entscheide mit einem Beweis oder Gegenbeispiel, ob die folgenden Gleichungen Polynomidentitäten sind.
Lösung:
Wir entwickeln die linke Seite mit , wobei und gilt.
Die entwickelte linke Seite stimmt exakt mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher eine Polynomidentität.
Für ein Gegenbeispiel setzen wir auf beiden Seiten ein.
Linke Seite:
Entscheide für jede Gleichung, ob sie eine Polynomidentität ist, und begründe deine Entscheidung.
Testen wir mit dem Wert .
Linke Seite:
Rechte Seite:
Da für die linke Seite () die rechte Seite () ist, ist diese Gleichung keine polynomische Identität.
Die korrekte Identität ist .
Wir entwickeln die linke Seite mit , wobei und gilt.
Rechte Seite:
Da für die linke Seite () nicht gleich der rechten Seite () ist, ist diese Gleichung keine polynomische Identität.
Die korrekte Identität für lautet . Dabei wird verwendet.
Die entwickelte linke Seite stimmt exakt mit der rechten Seite überein. Die Gleichung ist daher eine Polynomidentität.
