Exponentialfunktionen definieren

Damit die Funktion für alle reellen Eingaben reelle Werte besitzt, muss die Basis folgende Bedingungen erfüllen:

Die Bedingung $a>0$ sorgt dafür, dass $a^x$ für jedes reelle $x$ reell bleibt. Der Ausschluss von $a=1$ trennt echtes Wachstum und echten Zerfall von einer konstanten Funktion.

Eine skalierte Exponentialfunktion hat die Form:

Dabei ist $k\neq0$ ein vertikaler Streckfaktor. Die Basis bestimmt den Änderungsfaktor pro Eingabeeinheit. $k$ bestimmt den Anfangswert und die Seite der $x$-Achse, auf der der Graph liegt.

Definitionsmenge Wertemenge und Achsenschnittpunkt

Für die Standardfunktion $f(x)=a^x$ gilt:

1. Die Definitionsmenge ist $\mathbb{R}$.
2. Die Wertemenge ist $(0,\infty)$.
3. Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $(0,1)$, weil $a^0=1$ gilt.
4. Der Graph schneidet die $x$-Achse nie, weil $a^x>0$ gilt.
5. Für $a>1$ ist die Funktion streng monoton steigend.
6. Für $0<a<1$ ist die Funktion streng monoton fallend.

Für $g(x)=k\,a^x$ liegt der Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0,k)$. Für $k>0$ ist die Wertemenge $(0,\infty)$. Für $k<0$ wird der Graph an der $x$-Achse gespiegelt und die Wertemenge ist $(-\infty,0)$.

Warum zwei Basen ausgeschlossen sind

Die Basis eins schließen wir aus, weil sie eine konstante Funktion ergibt. Die Basis null schließen wir aus, weil ihre negativen Potenzen nicht definiert sind. Die Gründe unterscheiden sich: Die konstante Funktion besitzt weiterhin für jede reelle Eingabe einen Wert, die Basis null dagegen nicht.

Basis Eins

Für $a=1$ gilt:

Der Funktionswert ändert sich nicht. Deshalb handelt es sich um eine konstante Funktion. Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall benötigen eine wiederholte Änderung mit demselben Faktor.

Basis Null

Der Ausdruck $0^x$ kann nicht alle reellen Zahlen als Definitionsmenge haben:

Für $x=0$ wird dem Ausdruck $0^0$ in dieser Funktionsdefinition kein Wert zugewiesen. Die Basis null kann daher die geforderte Definitionsmenge $\mathbb{R}$ nicht erfüllen.

Form und Verhalten von Exponentialfunktionen

1. Für $f(x)=4^x$ gilt $a=4>1$. Die Funktion ist daher steigend. Zu ihren Werten gehören $f(0)=1$, $f(1)=4$ und $f(2)=16$.

2. $f(x)=3^{x+1}$ lässt sich als $f(x)=3\cdot3^x$ schreiben. Der Faktor verschiebt den Schnittpunkt mit der -Achse von auf .

3. $f(x)=5^{2x-1}$ ist steigend, weil der Exponent $2x-1$ mit $x$ wächst. Zum Beispiel gilt und .

4. Für $f(x)=0{,}5^x$ gilt $0<a<1$. Die Funktion ist daher fallend. Zu ihren Werten gehören $f(0)=1$, und .

Häufige Modelle

1. Wiederholte Verdopplung: $P(t)=P_0\,2^{t/d}$, wobei $d$ die Verdopplungszeit ist.
2. Wachstum mit Zinseszinseffekt: $A(t)=P(1+r)^t$, wobei $r$ die Rate pro Verzinsungsintervall ist.
3. Halbwertszeit: $A(t)=A_0\left(\frac12\right)^{t/h}$, wobei die Halbwertszeit ist.
4. Frühe Übertragung: $C(n)=C_0R^n$, wobei $R$ ein angenommener durchschnittlicher Faktor pro Zyklus ist.

Im Verdopplungsmodell ist $P_0$ die Anfangsmenge. Die Größen $t$ und $d$ verwenden dieselbe Zeiteinheit. Im Halbwertszeitmodell ist $A_0$ die Anfangsmenge, und $t$ und $h$ haben ebenfalls dieselbe Zeiteinheit. Im Übertragungsmodell ist $C_0$ die anfängliche Anzahl und $n$ zählt die Zyklen. Jedes Modell setzt für die betrachteten Intervalle einen gleichbleibenden Änderungsfaktor voraus.

Beim Wachstum mit Zinseszinseffekt bezeichnet $P$ den Anfangswert und $t$ die Zahl der Intervalle. Ein Anfangswert von $100$ wächst zum Beispiel um $10\%$ pro Intervall, also ist $r=0{,}1$. Nach zwei Intervallen gilt:

Der zweite Zuwachs wird aus $110$ berechnet. Deshalb wächst auch der hinzugefügte Betrag, obwohl der Prozentsatz gleich bleibt.

Veröffentlicht: 22.08.2026. Aktualisiert: 01.09.2026.