Modelle exponentieller Funktionen

Eine einfache Geschichte zur Ansteckung

Die Rechnung beginnt mit einer infizierten Person, die genau $3$ weitere Menschen ansteckt. In der nächsten Phase steckt jede neu infizierte Person weitere $3$ Menschen an. Diese Verzweigungsregel verwendet einen $festen Multiplikationsfaktor$ . Damit die Rechnung übersichtlich bleibt, nehmen wir an: Niemand wird von zwei Personen gleichzeitig angesteckt, noch niemand ist genesen und der Faktor drei bleibt immer gleich.

So entsteht ein leicht erkennbares Muster: In jeder Phase stecken sich dreimal so viele Menschen neu an wie in der Phase davor. Bei einem echten Ausbruch ist das natürlich anders. Kontakte überschneiden sich, Menschen genesen und die Ansteckung verändert sich mit der Zeit. Unser Beispiel erklärt exponentielles Wachstum unter gleich bleibenden Bedingungen.

Neu infizierte Personen in jeder Phase

Jede Zahl zeigt, wie viele Menschen sich $in genau dieser Phase$ neu anstecken. Sie ist noch nicht die Summe aller Phasen:

Phase	Neu infiziert	Summe seit der ersten Phase
$1$	$3$	$3$
$2$	$9$	$12$
$3$	$27$	$39$
$4$	$81$	$120$
$5$	$243$	$363$

$N(x)$ bezeichnet die Zahl der Menschen, die sich in Phase $x$ neu anstecken:

N(x)=3^x

Die Summe der neuen Infektionen von Phase eins bis Phase $x$ ist eine geometrische Reihe. Das erste Glied und der Quotient sind beide $3$ :

\begin{aligned} S(x) &=3+3^2+\cdots+3^x \\ &=3\frac{3^x-1}{3-1} \\ &=\frac{3^{x+1}-3}{2} \end{aligned}

Die beiden Formeln beantworten also verschiedene Fragen: $N(x)$ beschreibt eine einzelne Phase, $S(x)$ addiert alle abgeschlossenen Phasen.

Drei Funktionstypen vergleichen

Das Diagramm vergleicht drei Formeln für dieselben Phasenwerte:

$Exponentiell$ : $y=3^x$
$Linear$ : $y=3x$
$Logarithmisch$ : $y=20\ln(x+1)$

Nur die Exponentialkurve entspricht der Regel „in jeder Phase mit drei multiplizieren“. Die beiden anderen Kurven dienen als Formvergleich und sind keine alternativen Aussagen über eine Übertragung.

Ein einfaches Ansteckungsmuster

Neu infizierte Personen pro Phase bei einem festen Faktor von drei.

Die Exponentialkurve verdreifacht sich von Phase zu Phase. Ein echter Ausbruch folgt diesem sauberen Muster nicht dauerhaft.

Ausführliche Antworten

Wie viele Menschen stecken sich in unserem Beispiel in Phase $20$ neu an?

$N(20)=3^{20}=3{.}486{.}784{.}401$
Wie viele neue Infektionen kommen zusammen, wenn wir die Phasen $1$ bis $20$ addieren?

$S(20)=\frac{3^{21}-3}{2}=5{.}230{.}176{.}600$
Welcher Teil der Regel „in jeder Phase mit drei multiplizieren“ passt zur Exponentialkurve?

Das Exponentialmodell multipliziert die vorherige Phase mit $3$ . Ein lineares Modell würde in jeder Phase denselben Betrag addieren. $Die Multiplikation mit einem festen Faktor$ und die Addition eines festen Betrags sind unterschiedliche Prozesse.

Allein in Phase $20$ stecken sich in unserem Beispiel $3{.}486{.}784{.}401$ Menschen neu an. Addieren wir die Phasen $1$ bis $20$ , kommen wir auf $5{.}230{.}176{.}600$ neue Infektionen. Die eine Person, die schon vor der ersten Phase infiziert war, ist in dieser Summe noch nicht enthalten.

Die riesigen Zahlen entstehen durch unsere einfachen Annahmen: Jede neu infizierte Person steckt genau drei weitere Menschen an, niemand wird doppelt gezählt und noch niemand ist genesen. So lässt sich exponentielles Wachstum gut verstehen. Wie viele Menschen sich bei einem echten Ausbruch anstecken, kann dieses Beispiel jedoch nicht vorhersagen.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Für $f(x)=a^x$ mit $a>0$ und $a\neq1$ gilt:

Die Definitionsmenge ist $\mathbb{R}$ , die Wertemenge $(0,\infty)$ .
Der Graph verläuft durch $(0,1)$ , weil $a^0=1$ gilt.
Für $a>1$ ist die Funktion steigend.
Für $0<a<1$ ist die Funktion fallend.
Für $a>1$ führt ein größerer Wert von $a$ zu stärkerem Wachstum pro Intervall. Für $0<a<1$ führt ein kleinerer Wert von $a$ zu stärkerem Zerfall pro Intervall.

Diese allgemeinen Funktionseigenschaften gelten für $reelle Eingaben$ . Für die Anzahl der Übertragungsphasen verwenden wir nur nichtnegative ganze Zahlen. Die Definitionsmenge der mathematischen Funktion und die Beobachtungszeitpunkte des Modells unterscheiden sich also.

Einsatzbereiche exponentieller Modelle

Exponentialfunktionen können Zinseszins, radioaktiven Zerfall, wiederholte Verdopplung und kurze Phasen von Bevölkerungs- oder Übertragungsänderungen modellieren. Vor dem Einsatz muss geprüft werden, ob der Prozess in gleichen Intervallen tatsächlich einen annähernd konstanten $Faktor$ verwendet. Ändern sich Rate, Ressourcen oder Wechselwirkungen, muss sich auch das Modell ändern.