Exponentialfunktionen definieren

Damit die Funktion für alle reellen Eingaben reelle Werte besitzt, muss die Basis folgende Bedingungen erfüllen:

Die Bedingung $a>0$ sorgt dafür, dass $a^x$ für jedes reelle $x$ reell bleibt. Der Ausschluss von $a=1$ trennt echtes Wachstum und echten Zerfall von einer konstanten Funktion.

Eine skalierte Exponentialfunktion hat die Form:

Dabei ist $k\neq0$ ein vertikaler Streckfaktor. Die Basis bestimmt Wachstum oder Zerfall. $k$ bestimmt den Anfangswert und die Seite der $x$-Achse, auf der der Graph liegt.

Definitionsmenge, Wertemenge und Achsenschnittpunkt

Für die Standardfunktion $f(x)=a^x$ gilt:

1. Die Definitionsmenge ist $\mathbb{R}$.
2. Die Wertemenge ist $(0,\infty)$.
3. Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $(0,1)$, weil $a^0=1$ gilt.
4. Der Graph schneidet die $x$-Achse nie, weil $a^x>0$ gilt.
5. Für $a>1$ ist die Funktion streng monoton steigend.
6. Für $0<a<1$ ist die Funktion streng monoton fallend.

Für $g(x)=k\,a^x$ liegt der Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0,k)$. Für $k>0$ ist die Wertemenge $(0,\infty)$. Für $k<0$ wird der Graph an der $x$-Achse gespiegelt und die Wertemenge ist $(-\infty,0)$.

Warum zwei Basen ausgeschlossen sind

Basis Eins

Für $a=1$ gilt:

Der Funktionswert ändert sich nicht. Deshalb handelt es sich um eine konstante Funktion und nicht um exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall.

Basis Null

Der Ausdruck $0^x$ definiert keine reellwertige Funktion für alle reellen Eingaben:

Für $x=0$ wird dem Ausdruck $0^0$ in dieser Funktionsdefinition kein Wert zugewiesen. Die Basis null kann daher die geforderte Definitionsmenge $\mathbb{R}$ nicht erfüllen.

Beispiele lesen

1. Für $f(x)=4^x$ gilt $a=4>1$. Die Funktion ist daher steigend. Zu ihren Werten gehören $f(0)=1$, $f(1)=4$ und $f(2)=16$.

2. $f(x)=3^{x+1}$ lässt sich als $f(x)=3\cdot3^x$ schreiben. Der Faktor verschiebt den Schnittpunkt mit der -Achse von auf .

3. $f(x)=5^{2x-1}$ ist steigend, weil der Exponent $2x-1$ mit $x$ wächst. Zum Beispiel gilt $f(0)=5^{-1}=\frac15$ und .

4. Für $f(x)=0{,}5^x$ gilt $0<a<1$. Die Funktion ist daher fallend. Zu ihren Werten gehören $f(0)=1$, und .

Häufige Modelle

1. Wiederholte Verdopplung: $P(t)=P_0\,2^{t/d}$, wobei $d$ die Verdopplungszeit ist.
2. Wachstum mit Zinseszinseffekt: $A(t)=P(1+r)^t$, wobei $r$ die Rate pro Verzinsungsintervall ist.
3. Halbwertszeit: $A(t)=A_0\left(\frac12\right)^{t/h}$, wobei die Halbwertszeit ist.
4. Frühe Übertragung: $C(n)=C_0R^n$, wobei $R$ ein angenommener durchschnittlicher Faktor pro Zyklus ist.

Jede Formel erhält erst durch klar benannte Variablen, Einheiten, Intervalle und Annahmen eine Bedeutung. Dieselbe exponentielle Form kann verschiedene Zusammenhänge beschreiben. Die Symbole allein besitzen noch keine reale Bedeutung.