Exponentieller Zerfall

Abnahme um denselben Anteil je Intervall

Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor zwischen $0$ und $1$ multipliziert wird. Ein diskretes Zerfallsmodell hat die Form:

Die Größen in diesem Modell bedeuten:

• $C>0$, dem Anfangswert
• $0<a<1$, dem Zerfallsfaktor pro Intervall
• $x$, der Anzahl der Intervalle

Der Faktor beschreibt den verbleibenden Anteil. Eine Abnahme um $15\%$ lässt zum Beispiel $85\%$ übrig. Der Zerfallsfaktor ist dann $a=0{,}85$.

Einen Zerfallsgraphen lesen

Mit wachsendem $x$ wird $a^x$ kleiner. Der Graph fällt zunächst schnell und flacht anschließend ab, weil derselbe prozentuale Rückgang auf eine immer kleinere Menge angewendet wird.

Für $f(x)=50\left(\frac12\right)^x$ beträgt der Anfangswert $50$ und jedes Intervall lässt die Hälfte des vorherigen Wertes übrig:

Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote $y=0$, erreicht sie aber für kein endliches reelles $x$.

Zerfallsmodelle für Medikamente Radioaktivität und Rücksprünge

Ein Zerfallsmodell multipliziert in jedem Intervall mit einem Faktor zwischen null und eins. Dieser Faktor entfernt einen festen Anteil des Verbliebenen, sodass jeder Schritt denselben Bruchteil des aktuellen Werts behält und der Wert sich null nähert, ohne ihn zu erreichen.

Ein Halbwertszeitmodell

In diesem vereinfachten Modell befinden sich anfangs $50\,\mu\text{g}$ eines Medikaments im Körper. Jede Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden, gilt:

Die ersten Werte zeigen, dass das Modell immer die aktuelle Menge halbiert:

• $f(0)=50\,\mu\text{g}$
• $f(1)=25\,\mu\text{g}$
• $f(2)=12{,}5\,\mu\text{g}$
• $f(3)=6{,}25\,\mu\text{g}$

Nach $9$ Stunden gilt $f(9)=50\left(\frac12\right)^9\approx0{,}0977\,\mu\text{g}$. Das sind weniger als $0{,}1\,\mu\text{g}$.

Radioaktiver Zerfall

Zerfällt in jedem Zeitintervall der Anteil $r$ der radioaktiven Kerne, beträgt der Anteil der noch nicht zerfallenen Kerne $1-r$. Für $0<r<1$ gilt:

Dabei ist $M_0$ die anfängliche Masse des radioaktiven Isotops. Die Größe $M(t)$ beschreibt die Masse dieses Isotops, die noch nicht zerfallen ist. Zerfallsprodukte werden in $M(t)$ nicht mitgezählt. Die Variable $t$ zählt gleich lange Zeitintervalle. Das Modell setzt voraus, dass die angegebene proportionale Rate im untersuchten Zeitraum konstant bleibt.

Sprunghöhe

Ein Ball wird aus der Höhe $h_0$ fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht den festen Anteil $0<p<1$ der vorherigen Höhe. Die Höhe nach dem $n$ten Rücksprung ist:

Für $h_0=300\text{ cm}$ und $p=\frac35$ gilt:

• $h_0=300\text{ cm}$
• $h_1=300\left(\frac35\right)=180\text{ cm}$
• $h_2=300\left(\frac35\right)^2=108\text{ cm}$
• $h_3=300\left(\frac35\right)^3=64{,}8\text{ cm}$

Das mathematische Modell erreicht nie den Wert null. Eine praktische Aussage über das Ende der Bewegung braucht daher einen Grenzwert, zum Beispiel „unter $1\text{ cm}$“.

Übungen

Jede Aufgabe gibt einen Anfangsbestand und den Anteil, der nach einem Intervall übrig bleibt. Berechne den Bestand zum verlangten Intervall.

1. Eine Substanz beginnt mit $200\text{ mg}$. In jeder Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Wie viel bleibt nach $5$ Stunden übrig?

2. Eine radioaktive Probe hat zu Beginn einer Beobachtung eine Masse von $0{,}3\text{ kg}$. In jeder Stunde zerfallen $15\%$ der Kerne dieses Isotops. Welche Masse des noch nicht zerfallenen Isotops bleibt nach $8$ Stunden übrig?

3. Ein Ball wird aus $3\text{ m}$ Höhe fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht $\frac35$ der vorherigen Höhe.

   Zeichne den diskreten Graphen der Sprunghöhen. Der Ball gilt als gestoppt, sobald die Sprunghöhe unter einem Zentimeter liegt. Bestimme den ersten Rücksprung, der diese Bedingung erfüllt.

Ausführliche Lösungen

1. Der Zerfallsfaktor ist $\frac12$. Nach fünf einstündigen Intervallen gilt:

   $$f(x)=200\left(\frac12\right)^x$$

   $$\begin{aligned} f(5) &=200\left(\frac12\right)^5 \\ &=200\left(\frac1{32}\right) \\ &=6{,}25 \end{aligned}$$

   Es bleiben also $6{,}25\text{ mg}$ übrig.

2. Ein Verlust von $15\%$ ergibt den verbleibenden Faktor $0{,}85$:

   $$M(t)=0{,}3(0{,}85)^t$$

   $$M(8)=0{,}3(0{,}85)^8\approx0{,}08175\text{ kg}$$

   $$0{,}08175\text{ kg}\approx81{,}75\text{ g}$$

3. Wird die Höhe in Zentimetern gemessen, lautet das Modell:

   $$h_n=300\left(\frac35\right)^n$$
   Sprunghöhe

   Diskrete Höhen mit dem Faktor $\frac35$.

   $f(x)=300\cdot(0{,}6)^x$

   $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
   $f(x)$	$300$	$180$	$108$	$64{,}8$	$\approx38{,}88$	$\approx23{,}328$	$\approx13{,}9968$	$\approx8{,}39808$	$\approx5{,}038848$	$\approx3{,}0233088$	$\approx1{,}81398528$	$\approx1{,}088391168$	$\approx0{,}6530347008$

   $f(x)=300\cdot(0{,}6)^x$

   Vollbild

   Die Werte in der Nähe des Grenzwertes sind:

   Rücksprung	Höhe in Zentimetern
   $n=9$	$3{,}023309$
   $n=10$	$1{,}813985$
   $n=11$	$1{,}088391$
   $n=12$	$0{,}653035$

   Rücksprung $11$ liegt noch über $1\text{ cm}$, Rücksprung $12$ bereits darunter. Damit ist $n=12$ der erste Rücksprung, der die festgelegte Stoppregel erfüllt.

Grenzen des Modells

Exponentieller Zerfall wird unter anderem für radioaktiven Zerfall, Wertverlust, Näherungen bei Abkühlung und Ausscheidungsmodelle verwendet. In jeder Anwendung müssen das Intervall, der verbleibende Faktor und die Bedingungen für einen annähernd konstanten Faktor geklärt werden. Ein Modell beschreibt eine Situation innerhalb bestimmter Grenzen. Es garantiert nicht, dass sich dasselbe Muster unbegrenzt fortsetzt.