Definition des exponentiellen Zerfalls
Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor zwischen und multipliziert wird. Ein diskretes Zerfallsmodell hat die Form:
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Exponentieller Zerfall liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor zwischen und multipliziert wird. Ein diskretes Zerfallsmodell hat die Form:
mit:
Der Faktor beschreibt den verbleibenden Anteil, nicht den verlorenen Anteil. Eine Abnahme um lässt zum Beispiel übrig. Der Zerfallsfaktor ist dann .
Mit wachsendem wird kleiner. Der Graph fällt zunächst schnell und flacht anschließend ab, weil derselbe prozentuale Rückgang auf eine immer kleinere Menge angewendet wird.
Für beträgt der Anfangswert und jedes Intervall lässt die Hälfte des vorherigen Wertes übrig:
Der Graph nähert sich der waagerechten Asymptote , erreicht sie aber für kein endliches reelles .
Nehmen wir an, von einem hypothetischen Medikament befinden sich anfangs im Körper und jede Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Wird in Stunden gemessen, gilt:
Die ersten Werte zeigen, dass das Modell immer die aktuelle Menge halbiert:
Nach Stunden gilt . Das sind weniger als .
Verliert eine Probe in jedem Zeitintervall denselben Anteil , bleibt der Anteil übrig. Für gilt:
Dabei ist die Anfangsmasse und zählt gleich lange Zeitintervalle. Das Modell setzt voraus, dass die angegebene proportionale Rate im untersuchten Zeitraum konstant bleibt.
Ein Ball wird aus der Höhe fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht den festen Anteil der vorherigen Höhe. Die Höhe nach dem ten Rücksprung ist:
Für und gilt:
Das mathematische Modell erreicht nie den Wert null. Eine praktische Aussage über das Ende der Bewegung braucht daher einen Grenzwert, zum Beispiel „unter “.
Eine hypothetische Substanz beginnt mit . In jeder Stunde wird die Hälfte der verbleibenden Menge ausgeschieden. Wie viel bleibt nach Stunden übrig?
Eine radioaktive Probe hat zu Beginn einer Beobachtung eine Masse von . Sie verliert in jeder Stunde ihrer Masse. Wie viel bleibt nach Stunden übrig?
Ein Ball wird aus Höhe fallen gelassen. Jeder Rücksprung erreicht der vorherigen Höhe.
Der Zerfallsfaktor ist . Nach fünf einstündigen Intervallen gilt:
Es bleiben also übrig.
Ein Verlust von ergibt den verbleibenden Faktor :
Wird die Höhe in Zentimetern gemessen, lautet das Modell:
Exponentieller Zerfall wird unter anderem für radioaktiven Zerfall, Wertverlust, Näherungen bei Abkühlung und Ausscheidungsmodelle verwendet. In jeder Anwendung müssen das Intervall, der verbleibende Faktor und die Bedingungen für einen annähernd konstanten Faktor geklärt werden. Ein Modell beschreibt eine Situation innerhalb bestimmter Grenzen. Es garantiert nicht, dass sich dasselbe Muster unbegrenzt fortsetzt.
Die Werte in der Nähe des Grenzwertes sind:
| Rücksprung | Höhe in Zentimetern |
|---|---|
Rücksprung liegt noch über , Rücksprung bereits darunter. Damit ist der erste Rücksprung, der die festgelegte Stoppregel erfüllt.