Definition des exponentiellen Wachstums
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor größer als multipliziert wird. Ein Wachstumsmodell hat die Form:
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Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit demselben Faktor größer als multipliziert wird. Ein Wachstumsmodell hat die Form:
mit:
Bei diskreten Ereignissen wie abgeschlossenen Zellteilungen ist eine nichtnegative ganze Zahl. Ein kontinuierlicher Graph erweitert dieselbe Formel auf reelle Werte von und ist als Interpolation des Modells zu verstehen.
Eine Kultur beginnt mit Bakterien. Jedes Bakterium teilt sich alle in zwei. Todesfälle und begrenzte Ressourcen bleiben im Modell unberücksichtigt, damit der wiederholte Faktor im Mittelpunkt steht.
Die Variable zählt abgeschlossene Intervalle von dreißig Minuten:
| Intervall | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Bakterien |
Jeder Wert ist der Anfangsbestand multipliziert mit einer Potenz von :
Das Modell lautet daher:
Die Tabelle enthält diskrete Beobachtungen. Die Kurve von zeigt, wie sich dieselbe Regel zwischen diesen ganzzahligen Eingaben verhält:
Die Kurve wird steiler, weil jede Verdopplung auf eine größere Menge wirkt. Das bedeutet nicht, dass eine echte Kultur unbegrenzt wachsen kann.
Fünf Stunden enthalten zehn Intervalle von dreißig Minuten:
Nun setzen wir die Anzahl der Intervalle in das Modell ein:
Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur nach genau Bakterien.
Bei einem festen Wachstumsfaktor skaliert eine Änderung von alle Funktionswerte:
Bei einem Verdopplungsfaktor gilt zum Beispiel:
Eine Kultur enthält nach Verdopplungsintervallen Bakterien. bezeichnet den unbekannten Anfangsbestand:
Die Kultur begann mit Bakterien.
Nach Verdopplungsintervallen enthält dieselbe Kultur:
Welche Zeit diese zehn Intervalle darstellen, hängt von der Intervalllänge ab. Dauert ein Intervall dreißig Minuten, entsprechen zehn Intervalle fünf Stunden.
Eine idealisierte Bakterienkultur beginnt mit Zellen und verdoppelt sich alle .
Eine hypothetische Region hat Einwohner. Ihre Bevölkerung soll in den nächsten fünf Jahren konstant um pro Jahr wachsen. Welche Bevölkerung sagt das Modell nach fünf Jahren voraus?
Der Anfangswert ist , der Wachstumsfaktor ist .
Die ersten sechs Werte lauten:
| Intervall | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Bakterien |
Wird in Fünfzehn-Minuten-Intervallen gemessen, gilt:
Drei Stunden enthalten Intervalle:
Eine Zunahme um entspricht dem jährlichen Faktor :
Exponentielles Wachstum kommt bei Zinseszins, idealisierten Bevölkerungsmodellen, frühen Übertragungsmodellen und unbeschränktem Laborwachstum vor. Anfangswert, Faktor und Intervall müssen immer ausdrücklich benannt werden. In realen Systemen verändern sich Raten, Ressourcen werden knapp oder weitere Beschränkungen treten auf. Eine Exponentialfunktion sollte daher nur so weit fortgesetzt werden, wie ihre Annahmen sinnvoll bleiben.
Vier Stunden enthalten Intervalle:
Das Modell sagt nach fünf Jahren etwa voraus.