Exponentielles Wachstum

Zunahme mit demselben Faktor je Intervall

Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit $demselben Faktor$ größer als $1$ multipliziert wird. Ein Wachstumsmodell hat die Form:

f(x)=P_0a^x

Die Größen in diesem Modell bedeuten:

$P_0>0$ , dem Anfangswert
$a>1$ , dem Wachstumsfaktor pro Intervall
$x$ , der Anzahl der Intervalle

Bei diskreten Ereignissen wie abgeschlossenen Zellteilungen ist $x$ eine nichtnegative ganze Zahl. Ein kontinuierlicher Graph erweitert dieselbe Formel auf reelle Werte von $x$ und ist als Interpolation des Modells zu verstehen.

Ein Modell aus einer Tabelle entwickeln

Eine Wertetabelle zeigt den wiederholten Faktor unmittelbar. $Teile ein Glied durch das vorherige$ , um zu prüfen, dass der Quotient bei jedem Schritt gleich bleibt.

Idealisiertes Bakterienwachstum

Eine Kultur beginnt mit $30$ Bakterien. Jedes Bakterium teilt sich alle $30\text{ Minuten}$ in zwei. Todesfälle und $begrenzte Ressourcen$ bleiben im Modell unberücksichtigt, damit der wiederholte Faktor im Mittelpunkt steht.

Die Variable $x$ zählt abgeschlossene Intervalle von dreißig Minuten:

Intervall	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Bakterien	$30$	$60$	$120$	$240$	$480$	$960$

Jeder Wert ist der Anfangsbestand multipliziert mit einer Potenz von $2$ :

$f(0)=30\cdot2^0=30$
$f(1)=30\cdot2^1=60$
$f(2)=30\cdot2^2=120$
$f(3)=30\cdot2^3=240$
$f(4)=30\cdot2^4=480$

Das Modell lautet daher:

f(x)=30\cdot2^x

Tabelle und Graph verbinden

Die Tabelle erfasst abgeschlossene Teilungen bei $ganzzahligen Werten$ von $x$ . Die gezeichnete Kurve erweitert $f(x)=30\cdot2^x$ auf reelle Werte von $x$ . In diesem diskreten Modell interpolieren Punkte zwischen zwei ganzen Zahlen lediglich die Formel. Sie zählen keine weitere abgeschlossene Teilung.

Idealisiertes Bakterienwachstum

Der Bestand verdoppelt sich alle

30\text{ Minuten}

$f(x)=30\cdot(2)^x$
$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$f(x)$	$30$	$60$	$120$	$240$	$480$	$960$	$1{.}920$	$3{.}840$	$7{.}680$	$15{.}360$	$30{.}720$

f(x)=30\cdot(2)^x

Jede Verdopplung fügt mehr Bakterien hinzu als die vorherige, sodass die Steigung der Kurve zunimmt. Eine echte Kultur folgt diesem Modell mit konstantem Faktor nur so lange, bis Platz oder Nährstoffe knapp werden.

Zeit in Intervalle umrechnen

Fünf Stunden enthalten $zehn Intervalle$ von dreißig Minuten:

x=\frac{5\cdot60}{30}=10

Nun setzen wir die Anzahl der Intervalle in das Modell ein:

\begin{aligned} f(10) &=30\cdot2^{10} \\ &=30\cdot1{.}024 \\ &=30{.}720 \end{aligned}

Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur nach $5\text{ Stunden}$ genau $30{.}720$ Bakterien.

Den Anfangswert ändern oder bestimmen

Bei einem festen Wachstumsfaktor $a$ skaliert eine Änderung von $P_0$ $alle Funktionswerte$ :

f(x)=P_0a^x

Bei einem Verdopplungsfaktor gilt zum Beispiel:

$P_0=50$ ergibt $f(x)=50\cdot2^x$
$P_0=100$ ergibt $f(x)=100\cdot2^x$
$P_0=200$ ergibt $f(x)=200\cdot2^x$

Einen unbekannten Anfangswert bestimmen

Eine Kultur enthält nach $2$ Verdopplungsintervallen $8{.}000$ Bakterien. $P_0$ bezeichnet den $unbekannten Anfangsbestand$ :

8{.}000=P_0\cdot2^2

Die Kultur begann mit $2{.}000$ Bakterien.

Dasselbe Intervallmodell fortsetzen

Nach $10$ Verdopplungsintervallen enthält dieselbe Kultur:

f(10)=2{.}000\cdot2^{10}

Welche Zeit diese $zehn Intervalle$ darstellen, hängt von der Intervalllänge ab. Dauert ein Intervall dreißig Minuten, entsprechen zehn Intervalle fünf Stunden.

Übungen

Beide Aufgaben nennen einen Anfangswert und das $Wachstum pro Intervall$ . Die Bakterienkultur verdoppelt sich alle fünfzehn Minuten, während die Bevölkerung jährlich um zwei Prozent wächst. Bestimme den Wachstumsfaktor und die Zeiteinheit, bevor du das jeweilige Modell aufstellst.

Eine idealisierte Bakterienkultur beginnt mit $50$ Zellen und verdoppelt sich alle $15\text{ Minuten}$ .

Erstelle eine Tabelle und einen Graphen von Intervall $0$ bis Intervall $5$ . Stelle die Wachstumsfunktion auf. Berechne den Bestand nach $3\text{ Stunden}$ und nach $4\text{ Stunden}$ .
Eine Region hat $36{.}000{.}000$ Einwohner. Ihre Bevölkerung soll in den nächsten fünf Jahren konstant um $2\%$ pro Jahr wachsen. Welche Bevölkerung sagt das Modell nach fünf Jahren voraus?

Ausführliche Lösungen

Verwende die $Anzahl abgeschlossener Intervalle$ als Exponenten. Rechne die Zeit in Stunden in die Anzahl der Intervalle um, bevor du die Werte in die Formel einsetzt. Beim Intervall null entspricht die Bakterienzahl noch dem Anfangsbestand.

$Aufgabe 1$ . Für die Bakterienkultur beträgt der Anfangswert $50$ , der $Wachstumsfaktor$ ist $2$ .

Die ersten sechs Werte lauten:

Intervall	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Bakterien	$50$	$100$	$200$	$400$	$800$	$1{.}600$

Idealisiertes Bakterienwachstum

Der Bestand verdoppelt sich alle

15\text{ Minuten}

$f(x)=50\cdot(2)^x$
$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$50$	$100$	$200$	$400$	$800$	$1{.}600$

f(x)=50\cdot(2)^x

Wird $x$ in Fünfzehn-Minuten-Intervallen gemessen, gilt:

f(x)=50\cdot2^x

Drei Stunden enthalten $\frac{3\cdot60}{15}=12$ Intervalle:

f(12)=50\cdot2^{12}

Vier Stunden enthalten $\frac{4\cdot60}{15}=16$ Intervalle:

f(16)=50\cdot2^{16}

$Aufgabe 2$ . Bei der Bevölkerung entspricht eine Zunahme um $2\%$ dem $jährlichen Faktor$ $1{,}02$ :

P(t)=36{.}000{.}000(1{,}02)^t

Das Modell sagt nach fünf Jahren etwa $39{,}75\text{ Millionen Menschen}$ voraus.

Grenzen des Modells

Exponentielles Wachstum kommt bei Zinseszins, idealisierten Bevölkerungsmodellen, frühen Übertragungsmodellen und unbeschränktem Laborwachstum vor. Benenne $Anfangswert, Faktor und Intervall$ , bevor du das Modell anwendest. In realen Systemen verändern sich Raten, Ressourcen werden knapp oder weitere Beschränkungen treten auf. Eine Exponentialfunktion sollte daher nur so weit fortgesetzt werden, wie ihre Annahmen sinnvoll bleiben.

Zunahme mit demselben Faktor je Intervall

Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn eine positive Größe in jedem gleich langen Intervall mit $demselben Faktor$ größer als $1$ multipliziert wird. Ein Wachstumsmodell hat die Form:

f(x)=P_0a^x

Die Größen in diesem Modell bedeuten:

$P_0>0$ , dem Anfangswert
$a>1$ , dem Wachstumsfaktor pro Intervall
$x$ , der Anzahl der Intervalle

Ein Modell aus einer Tabelle entwickeln

Eine Wertetabelle zeigt den wiederholten Faktor unmittelbar. $Teile ein Glied durch das vorherige$ , um zu prüfen, dass der Quotient bei jedem Schritt gleich bleibt.

Idealisiertes Bakterienwachstum

Die Variable $x$ zählt abgeschlossene Intervalle von dreißig Minuten:

Intervall	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Bakterien	$30$	$60$	$120$	$240$	$480$	$960$

Jeder Wert ist der Anfangsbestand multipliziert mit einer Potenz von $2$ :

$f(0)=30\cdot2^0=30$
$f(1)=30\cdot2^1=60$
$f(2)=30\cdot2^2=120$
$f(3)=30\cdot2^3=240$
$f(4)=30\cdot2^4=480$

Das Modell lautet daher:

f(x)=30\cdot2^x

Tabelle und Graph verbinden

Idealisiertes Bakterienwachstum

Der Bestand verdoppelt sich alle

30\text{ Minuten}

$f(x)=30\cdot(2)^x$
$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$f(x)$	$30$	$60$	$120$	$240$	$480$	$960$	$1{.}920$	$3{.}840$	$7{.}680$	$15{.}360$	$30{.}720$

f(x)=30\cdot(2)^x

Zeit in Intervalle umrechnen

Fünf Stunden enthalten $zehn Intervalle$ von dreißig Minuten:

x=\frac{5\cdot60}{30}=10

Nun setzen wir die Anzahl der Intervalle in das Modell ein:

\begin{aligned} f(10) &=30\cdot2^{10} \\ &=30\cdot1{.}024 \\ &=30{.}720 \end{aligned}

Nach dem idealisierten Modell enthält die Kultur nach $5\text{ Stunden}$ genau $30{.}720$ Bakterien.

Den Anfangswert ändern oder bestimmen

Bei einem festen Wachstumsfaktor $a$ skaliert eine Änderung von $P_0$ $alle Funktionswerte$ :

f(x)=P_0a^x

Bei einem Verdopplungsfaktor gilt zum Beispiel:

$P_0=50$ ergibt $f(x)=50\cdot2^x$
$P_0=100$ ergibt $f(x)=100\cdot2^x$
$P_0=200$ ergibt $f(x)=200\cdot2^x$

Einen unbekannten Anfangswert bestimmen

Eine Kultur enthält nach $2$ Verdopplungsintervallen $8{.}000$ Bakterien. $P_0$ bezeichnet den $unbekannten Anfangsbestand$ :

8{.}000=P_0\cdot2^2

Die Kultur begann mit $2{.}000$ Bakterien.

Dasselbe Intervallmodell fortsetzen

Nach $10$ Verdopplungsintervallen enthält dieselbe Kultur:

f(10)=2{.}000\cdot2^{10}

Welche Zeit diese $zehn Intervalle$ darstellen, hängt von der Intervalllänge ab. Dauert ein Intervall dreißig Minuten, entsprechen zehn Intervalle fünf Stunden.

Übungen

Eine idealisierte Bakterienkultur beginnt mit $50$ Zellen und verdoppelt sich alle $15\text{ Minuten}$ .

Erstelle eine Tabelle und einen Graphen von Intervall $0$ bis Intervall $5$ . Stelle die Wachstumsfunktion auf. Berechne den Bestand nach $3\text{ Stunden}$ und nach $4\text{ Stunden}$ .
Eine Region hat $36{.}000{.}000$ Einwohner. Ihre Bevölkerung soll in den nächsten fünf Jahren konstant um $2\%$ pro Jahr wachsen. Welche Bevölkerung sagt das Modell nach fünf Jahren voraus?

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$ . Für die Bakterienkultur beträgt der Anfangswert $50$ , der $Wachstumsfaktor$ ist $2$ .

Die ersten sechs Werte lauten:

Intervall	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Bakterien	$50$	$100$	$200$	$400$	$800$	$1{.}600$

Idealisiertes Bakterienwachstum

Der Bestand verdoppelt sich alle

15\text{ Minuten}

$f(x)=50\cdot(2)^x$
$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$50$	$100$	$200$	$400$	$800$	$1{.}600$

f(x)=50\cdot(2)^x

Wird $x$ in Fünfzehn-Minuten-Intervallen gemessen, gilt:

f(x)=50\cdot2^x

Drei Stunden enthalten $\frac{3\cdot60}{15}=12$ Intervalle:

f(12)=50\cdot2^{12}

Vier Stunden enthalten $\frac{4\cdot60}{15}=16$ Intervalle:

f(16)=50\cdot2^{16}

$Aufgabe 2$ . Bei der Bevölkerung entspricht eine Zunahme um $2\%$ dem $jährlichen Faktor$ $1{,}02$ :

P(t)=36{.}000{.}000(1{,}02)^t

Das Modell sagt nach fünf Jahren etwa $39{,}75\text{ Millionen Menschen}$ voraus.