Vom Papierfalten zum Wachstumsmodell
Nehmen wir an, ein Blatt Papier ist anfangs etwa dick. In einem idealen Modell verdoppelt jede Faltung die Dicke. Nach Faltungen ergibt das Modell:
Nakafa
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Das ist mehr als die mittlere Entfernung von der Erde zum Mond. Ein echtes Blatt lässt sich nicht so oft falten, daher ist die Rechnung nur ein ideales Modell. Bei jeder Faltung wird die Dicke mit multipliziert. Wiederholte Multiplikation mit demselben Faktor ergibt exponentielles Wachstum.
Stellen wir uns nun vor, am Anfang eines Ausbruchs ist eine Person infiziert und steckt zwei weitere an. In der nächsten Runde steckt jede dieser beiden Personen wiederum zwei Menschen an. Setzt sich das fort, ergeben sich für die Zahl der Neuinfektionen pro Runde die Werte . Die Bedingungen verändern sich, deshalb verdoppelt sich die Zahl der Neuinfektionen nicht immer. Die Zahlenfolge beschreibt nur dieses vereinfachte Beispiel. Wie viele Menschen sich während eines Ausbruchs tatsächlich anstecken, lässt sich damit nicht vorhersagen.
Eine Potenz schreibt eine wiederholte Multiplikation kompakt. Im Verdopplungsmodell sehen die ersten Stufen so aus:
In Stufe lautet das Modell . Zum Beispiel:
.
Ein Ausdruck wie besteht aus zwei Teilen:
Ist reell und eine positive ganze Zahl, dann gilt:
Bei positiven ganzen Zahlen zählt der Exponent gleiche Faktoren. Wir erweitern die Definition der Potenzen auf null, negative Zahlen und Brüche so, dass die Multiplikationsregeln weiter gelten. Jede Erweiterung muss auch angeben, welche Basen zulässig sind.
Für jede reelle Zahl ungleich null gilt:
Die Regel für den Exponenten null folgt aus der Division von Potenzen. Die Division von durch sich selbst ergibt , während die Subtraktion der Exponenten ergibt. Daher gilt .
Für jede reelle Zahl ungleich null und jede positive ganze Zahl gilt:
Der Grund ist . Ein negativer Exponent steht also für den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. Zum Beispiel:
.
Für reelle Wurzeln betrachten wir und eine positive ganze Zahl . Dann gilt:
Dabei ist die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit . Zum Beispiel gilt , weil ist.
Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative reelle Zahlen definiert, etwa . Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht reell. Die Definitionsmenge muss genannt werden, weil die Schreibweise nicht für jede Basis dieselbe reelle Bedeutung hat.
Sind und positive ganze Zahlen, dann gilt:
Ziehe zuerst die Wurzel und potenziere dann diesen Wert. Der Nenner bestimmt den Wurzelexponenten und der Zähler die anschließende Potenz. Zum Beispiel:
.
Eine Exponentialfunktion hat die Form mit und :
Der erste Fall beschreibt Wachstum, der zweite Zerfall. Das Modell ist nur so lange sinnvoll, wie Faktor und Zeitintervall zur untersuchten Situation passen.
Ein Wachstumsmodell wiederholt eine Multiplikation in einem festen Intervall, sodass ein einziger Faktor den Startwert zum Wert des nächsten Schritts macht. Bakterien, Viren und Populationen unterscheiden sich nur darin, was dieser Faktor bedeutet.
In einem idealen Kulturmodell teilt sich jedes Bakterium in jedem gleich langen Intervall in zwei Bakterien. Todesfälle und begrenzte Ressourcen werden dabei nicht berücksichtigt. Ist der Anfangsbestand, gilt nach Intervallen:
Die Basis ist der Wachstumsfaktor. Beginnt die Kultur mit Bakterien und teilt sie sich alle , dann liegen in genau Intervalle:
Ein vereinfachtes Modell für die frühe Ausbreitungsphase verwendet den durchschnittlichen Faktor :
steht für die Menschen, die am Anfang bereits infiziert sind, bevor der erste Übertragungszyklus beginnt. An kannst du ablesen, wie viele Zyklen vergangen sind. zeigt, wie viele Menschen im Zyklus infiziert sind. Am Ausgangspunkt gilt also . Für , und ergibt sich:
Die Rechnung kann eine Dezimalzahl ergeben, weil die Formel mit einem Durchschnitt arbeitet. Die tatsächliche Zahl der Menschen ist weiterhin ganzzahlig. Außerdem kann sich durch Verhalten, Immunität, Schutzmaßnahmen und Messverfahren ändern. Die Rechnung zeigt nur das Muster unter den festgelegten Bedingungen.
Wächst eine Bevölkerung in jedem Intervall mit derselben relativen Rate , dann gilt:
Der Faktor umfasst den bisherigen Bestand und den Zuwachs. Bei einer Anfangsbevölkerung von und einer konstanten jährlichen Wachstumsrate von gilt:
Die Rechnung wendet das Wachstum von jedes Jahr erneut an. Die tatsächliche Wachstumsrate einer Bevölkerung kann sich von Jahr zu Jahr ändern.
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