Vom Papierfalten zum Wachstumsmodell
Nehmen wir an, ein Blatt Papier ist anfangs etwa dick. In einem idealen Modell verdoppelt jede Faltung die Dicke. Nach Faltungen ergibt das Modell:
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Nehmen wir an, ein Blatt Papier ist anfangs etwa dick. In einem idealen Modell verdoppelt jede Faltung die Dicke. Nach Faltungen ergibt das Modell:
Das ist mehr als die mittlere Entfernung von der Erde zum Mond. Ein echtes Blatt lässt sich nicht so oft falten. Das Modell macht aber das entscheidende Muster sichtbar: Derselbe Faktor wird immer wieder angewendet. Das ist exponentielles Wachstum.
Dasselbe Muster kann die Ausbreitung in einer kurzen frühen Phase eines Ausbruchs näherungsweise beschreiben. Würde jeder Fall unter unveränderten Bedingungen genau zwei neue Fälle verursachen, entstünde die Folge . Bei realen Ausbrüchen bleibt der Faktor nicht konstant. Es handelt sich also um ein Lernmodell, nicht um eine wörtliche Vorhersage.
Eine Potenz schreibt eine wiederholte Multiplikation kompakt. Im Verdopplungsmodell sehen die ersten Stufen so aus:
In Stufe lautet das Modell . Zum Beispiel:
.
Ein Ausdruck wie besteht aus zwei Teilen:
Ist reell und eine positive ganze Zahl, dann gilt:
Für jede reelle Zahl ungleich null gilt:
Diese Regel ist nicht willkürlich. Teilt man eine von null verschiedene Potenz durch sich selbst, erhält man sowohl als auch . Beide Ausdrücke müssen daher übereinstimmen.
Für jede reelle Zahl ungleich null und jede positive ganze Zahl gilt:
Der Grund ist . Ein negativer Exponent steht also für den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. Zum Beispiel:
.
Für reelle Wurzeln betrachten wir in diesem Abschnitt und eine positive ganze Zahl . Dann gilt:
Dabei ist die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit . Zum Beispiel gilt , weil ist.
Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative reelle Zahlen definiert, etwa . Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht reell. Die Definitionsmenge muss genannt werden, weil die Schreibweise nicht für jede Basis dieselbe reelle Bedeutung hat.
Sind und positive ganze Zahlen, dann gilt:
Zuerst wird die te Wurzel gezogen, anschließend wird das Ergebnis mit potenziert. Zum Beispiel:
.
Eine Exponentialfunktion hat die Form mit und :
Der erste Fall beschreibt Wachstum, der zweite Zerfall. Das Modell ist nur so lange sinnvoll, wie Faktor und Zeitintervall zur untersuchten Situation passen.
In einem idealen Kulturmodell teilt sich jedes Bakterium in jedem Intervall in zwei Bakterien. Todesfälle und begrenzte Ressourcen werden dabei nicht berücksichtigt. Ist der Anfangsbestand, gilt nach Intervallen:
Die Basis ist der Wachstumsfaktor. Beginnt die Kultur mit Bakterien und teilt sie sich alle , dann liegen in genau Intervalle:
Ein vereinfachtes Modell für die frühe Ausbreitungsphase verwendet den durchschnittlichen Faktor :
Dabei ist die anfängliche Fallzahl und die Anzahl der Übertragungszyklen. Für , und ergibt sich:
Das Dezimalergebnis ist ein Erwartungswert des Modells, kein Bruchteil einer Person. In der Praxis verändert sich durch Verhalten, Immunität, Maßnahmen und Messverfahren. Die Rechnung ist deshalb keine exakte Vorhersage.
Wächst eine Bevölkerung in jedem Intervall mit derselben relativen Rate , dann gilt:
Der Faktor umfasst den bisherigen Bestand und den Zuwachs. Bei einer Anfangsbevölkerung von und einer konstanten jährlichen Wachstumsrate von gilt:
Das ist eine Schätzung mit Zinseszinseffekt. Die tatsächliche Wachstumsrate einer Bevölkerung kann sich von Jahr zu Jahr ändern.