Potenzen verstehen

Vom Papierfalten zum Wachstumsmodell

Nehmen wir an, ein Blatt Papier ist anfangs etwa $0{,}1\text{ mm}$ dick. In einem idealen Modell verdoppelt jede Faltung die Dicke. Nach $42$ Faltungen ergibt das Modell:

Das ist mehr als die mittlere Entfernung von der Erde zum Mond. Ein echtes Blatt lässt sich nicht so oft falten, daher ist die Rechnung nur ein ideales Modell. Bei jeder Faltung wird die Dicke mit $2$ multipliziert. Wiederholte Multiplikation mit demselben Faktor ergibt exponentielles Wachstum.

Stellen wir uns nun vor, am Anfang eines Ausbruchs ist eine Person infiziert und steckt zwei weitere an. In der nächsten Runde steckt jede dieser beiden Personen wiederum zwei Menschen an. Setzt sich das fort, ergeben sich für die Zahl der Neuinfektionen pro Runde die Werte $1,2,4,8,\ldots$. Die Bedingungen verändern sich, deshalb verdoppelt sich die Zahl der Neuinfektionen nicht immer. Die Zahlenfolge beschreibt nur dieses vereinfachte Beispiel. Wie viele Menschen sich während eines Ausbruchs tatsächlich anstecken, lässt sich damit nicht vorhersagen.

Definition von Potenzen

Eine Potenz schreibt eine wiederholte Multiplikation kompakt. Im Verdopplungsmodell sehen die ersten Stufen so aus:

In Stufe $n$ lautet das Modell $m(n)=2^n$. Zum Beispiel:

$m(5)=2^5=32$.

Bedeutung der Potenzschreibweise

Ein Ausdruck wie $a^n$ besteht aus zwei Teilen:

• $a$ ist die Basis, also die Zahl, die multipliziert wird
• $n$ ist der Exponent, also die Anzahl gleicher Faktoren

Ist $a$ reell und $n$ eine positive ganze Zahl, dann gilt:

Nullpotenzen Negative Exponenten und Bruchpotenzen

Bei positiven ganzen Zahlen zählt der Exponent gleiche Faktoren. Wir erweitern die Definition der Potenzen auf null, negative Zahlen und Brüche so, dass die Multiplikationsregeln weiter gelten. Jede Erweiterung muss auch angeben, welche Basen zulässig sind.

Exponent Null

Für jede reelle Zahl $a$ ungleich null gilt:

Die Regel für den Exponenten null folgt aus der Division von Potenzen. Die Division von $a^n$ durch sich selbst ergibt $1$, während die Subtraktion der Exponenten $a^{n-n}=a^0$ ergibt. Daher gilt $a^0=1$.

Negative Exponenten

Für jede reelle Zahl $a$ ungleich null und jede positive ganze Zahl $n$ gilt:

Der Grund ist $a^n a^{-n}=a^0=1$. Ein negativer Exponent steht also für den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. Zum Beispiel:

$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}=0{,}111\ldots$.

Gebrochene Exponenten

Für reelle Wurzeln betrachten wir $a>0$ und eine positive ganze Zahl $n$. Dann gilt:

Dabei ist $p$ die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl mit $p^n=a$. Zum Beispiel gilt $16^{\frac14}=2$, weil $2^4=16$ ist.

Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten sind auch für negative reelle Zahlen definiert, etwa $(-8)^{\frac13}=-2$. Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht reell. Die Definitionsmenge muss genannt werden, weil die Schreibweise nicht für jede Basis dieselbe reelle Bedeutung hat.

Allgemeine Bruchpotenzen

Sind $a>0$ und $m,n$ positive ganze Zahlen, dann gilt:

Ziehe zuerst die Wurzel und potenziere dann diesen Wert. Der Nenner $n$ bestimmt den Wurzelexponenten und der Zähler $m$ die anschließende Potenz. Zum Beispiel:

$8^{\frac23}=\left(8^{\frac13}\right)^2=2^2=4$.

Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion hat die Form $f(x)=a^x$ mit $a>0$ und $a\neq1$:

1. Für $a>1$ steigt der Funktionswert mit wachsendem $x$
2. Für $0<a<1$ fällt der Funktionswert mit wachsendem $x$

Der erste Fall beschreibt Wachstum, der zweite Zerfall. Das Modell ist nur so lange sinnvoll, wie Faktor und Zeitintervall zur untersuchten Situation passen.

Wachstumsmodelle für Bakterien Viren und Populationen

Ein Wachstumsmodell wiederholt eine Multiplikation in einem festen Intervall, sodass ein einziger Faktor den Startwert zum Wert des nächsten Schritts macht. Bakterien, Viren und Populationen unterscheiden sich nur darin, was dieser Faktor bedeutet.

Bakterienwachstum

In einem idealen Kulturmodell teilt sich jedes Bakterium in jedem gleich langen Intervall in zwei Bakterien. Todesfälle und begrenzte Ressourcen werden dabei nicht berücksichtigt. Ist $B_0$ der Anfangsbestand, gilt nach $t$ Intervallen:

Die Basis $2$ ist der Wachstumsfaktor. Beginnt die Kultur mit $100$ Bakterien und teilt sie sich alle $30\text{ Minuten}$, dann liegen in $2\text{ Stunden}$ genau $4$ Intervalle:

Virusausbreitung

Ein vereinfachtes Modell für die frühe Ausbreitungsphase verwendet den durchschnittlichen Faktor $R$:

$C_0$ steht für die Menschen, die am Anfang bereits infiziert sind, bevor der erste Übertragungszyklus beginnt. An $n$ kannst du ablesen, wie viele Zyklen vergangen sind. $C(n)$ zeigt, wie viele Menschen im Zyklus $n$ infiziert sind. Am Ausgangspunkt gilt also $C(0)=C_0$. Für $C_0=10$, $R=2{,}5$ und $n=3$ ergibt sich:

Die Rechnung kann eine Dezimalzahl ergeben, weil die Formel mit einem Durchschnitt arbeitet. Die tatsächliche Zahl der Menschen ist weiterhin ganzzahlig. Außerdem kann sich $R$ durch Verhalten, Immunität, Schutzmaßnahmen und Messverfahren ändern. Die Rechnung zeigt nur das Muster unter den festgelegten Bedingungen.

Bevölkerungswachstum

Wächst eine Bevölkerung in jedem Intervall mit derselben relativen Rate $r$, dann gilt:

Der Faktor $1+r$ umfasst den bisherigen Bestand und den Zuwachs. Bei einer Anfangsbevölkerung von $1{.}000{.}000$ und einer konstanten jährlichen Wachstumsrate von $2\%$ gilt:

Die Rechnung wendet das Wachstum von $2\%$ jedes Jahr erneut an. Die tatsächliche Wachstumsrate einer Bevölkerung kann sich von Jahr zu Jahr ändern.