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Nachdem wir eine lineare Regressionsgerade angepasst haben, stellt sich die nächste Frage: Wie viel von der beobachteten Streuung erfasst dieses Modell?
Das passende Maß heißt Determinationskoeffizient und wird meist mit bezeichnet. Für die einfache lineare Regression mit einem Prädiktor und einem Achsenabschnitt, die wir hier betrachten, gilt . Wir können den Wert also berechnen, indem wir den Pearson-Korrelationskoeffizienten quadrieren.
Der Wert gibt den Anteil oder Prozentsatz der beobachteten Streuung der abhängigen Variablen an, den das angepasste lineare Modell mithilfe von erfasst.
Der Wert von lässt sich im Streudiagramm daran erkennen, wie dicht die Datenpunkte an der Regressionsgeraden liegen:
Hohes (nahe oder )
Für diese Punkte ergibt die Rechnung , also . Die dichte Lage an der Regressionsgeraden passt zu diesem Wert: Das Modell erfasst fast die gesamte beobachtete Streuung von .
Niedriges (nahe oder )
Im einfachen linearen Modell erhalten wir , indem wir den bereits bekannten Korrelationskoeffizienten quadrieren.
Wenn schon bekannt ist, quadrieren wir den Wert, um zu erhalten.
Für einen definierten Korrelationskoeffizienten gilt . Sein Quadrat liegt daher zwischen null und eins:
Berechnung mit Abweichungssummen:
Wir können auch direkt aus denselben Abweichungssummen berechnen, die in der Formel für vorkommen:
Dieses Verhältnis setzt Streuung in beiden Variablen voraus, also und . Sind alle -Werte identisch, ist die Gesamtstreuung null und das übliche Verhältnis für den Determinationskoeffizienten nicht definiert.
Zur leichteren Deutung wird häufig durch Multiplikation mit in Prozent angegeben.
Ein höheres bedeutet, dass dieses Modell mehr von der beobachteten Streuung in erfasst. Es beweist weder einen Ursache-Wirkungs-Zusammenhang noch automatisch zuverlässige Vorhersagen. Dafür müssen wir zusätzlich die Residuen, den Datenbereich und die Angemessenheit eines linearen Modells prüfen.
Für den zweiten Datensatz gilt , also . Die längeren Residuen passen zu diesem niedrigen Wert: Das lineare Modell erfasst nur einen kleinen Teil der beobachteten Streuung von .
