Richtung und Stärke einer linearen Korrelation
Nehmen wir an, wir erfassen für dieselben Beobachtungen zwei numerische Variablen, etwa Lernzeit und Prüfungsergebnis eines Schülers oder Alter und Verkaufspreis eines Autos. Ein Streudiagramm zeigt, ob die Wertepaare ein Muster bilden. Die Korrelationsanalyse fasst Richtung und Stärke eines linearen, also annähernd geradlinigen, Musters zusammen.
Korrelation beantwortet eine beschreibende Frage: Wie verändern sich die beiden Variablen gemeinsam? Sie erklärt noch nicht, warum dieses Muster entsteht.
Der Korrelationskoeffizient
Der Pearson-Korrelationskoeffizient wird mit bezeichnet. Das Vorzeichen des Koeffizienten gibt die Richtung an, sein Abstand von null die Stärke des linearen Musters.
| Wert | Deutung |
|---|---|
| Größere Werte der einen Variablen treten tendenziell mit größeren Werten der anderen auf. | |
| Größere Werte der einen Variablen treten tendenziell mit kleineren Werten der anderen auf. | |
| Die Datenpunkte liegen dicht an einer Geraden. | |
| Der gemessene lineare Zusammenhang ist sehr schwach oder null. |
Wenn beide Variablen eine von null verschiedene Streuung besitzen und damit definiert ist, liegt der Koeffizient in diesem Intervall:
- bedeutet eine perfekte positive lineare Korrelation.
- bedeutet eine perfekte negative lineare Korrelation.
- bedeutet keine lineare Korrelation.
Ein Wert nahe null schließt nicht jede Beziehung aus. Die Punkte können einer deutlichen Kurve folgen, obwohl ihre lineare Korrelation klein ist. Deshalb müssen das Streudiagramm und der Sachzusammenhang gemeinsam mit betrachtet werden.
Ein gekrümmtes Muster mit Korrelation null
Die Datenpaare erfüllen für . Im Diagramm erkennst du ein U-förmiges Muster, obwohl die lineare Korrelation null ist.
Die Mittelwerte der Koordinaten sind und . Die Produkte der Abweichungen links und rechts heben sich auf:
Beide Variablen streuen weiterhin. Die Summe der quadrierten horizontalen Abweichungen beträgt , die der vertikalen Abweichungen . Daher gilt . Die Korrelation null geht hier mit einem exakten quadratischen Zusammenhang einher.
Variablen vertauschen und Einheiten ändern
Die Korrelation behandelt beide Variablen symmetrisch. Werden die Variablen auf der horizontalen und vertikalen Achse vertauscht, bleibt der Wert gleich:
Auch eine positive Änderung der Maßeinheit verändert nicht. Ob eine Körpergröße in Zentimetern oder Metern gemessen wird, ergibt denselben Koeffizienten. Das unterscheidet Korrelation von Regression, bei der eine Variable gezielt zur Vorhersage der anderen verwendet wird.
Der Determinationskoeffizient
Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten, , heißt Determinationskoeffizient. In einer einfachen linearen Regression mit Achsenabschnitt gibt es den Anteil der Streuung der Zielvariablen an, den das angepasste lineare Modell erfasst.
Haben Lernzeit und Prüfungsergebnis den Wert , dann gilt:
Der lineare Zusammenhang erfasst in diesem Datensatz der beobachteten Streuung der Ergebnisse. Die übrigen werden von diesem linearen Zusammenhang nicht erfasst. Diese Aussage beschreibt die Modellgüte. Sie beweist nicht, dass allein die Lernzeit die Ergebnisunterschiede verursacht hat.
Für den Determinationskoeffizienten gilt:
Korrelation und kausale Zusammenhänge
Eine starke Korrelation beweist nicht, dass eine Variable die andere verursacht. Mehrere Erklärungen können dasselbe Muster hervorbringen:
- Die erste Variable kann die zweite beeinflussen.
- Die zweite Variable kann die erste beeinflussen.
- Eine dritte Variable kann beide beeinflussen.
- Stichprobe, Messung oder eine ungewöhnliche Beobachtung können das Muster verzerren.
Ein Beispiel sind Speiseeisverkäufe und Badeunfälle. Beide können bei heißem Wetter zunehmen. Daraus folgt nicht, dass der Kauf von Speiseeis Badeunfälle verursacht. Sommerwetter und häufigeres Baden wirken sich auf beide Beobachtungen aus.
Korrelation beschreibt ein lineares Muster. Eine kausale Schlussfolgerung benötigt zusätzliche Belege aus dem Untersuchungsdesign, der zeitlichen Abfolge, plausiblen Wirkmechanismen und alternativen Erklärungen.
Prüfe deine Deutung
Ein Wert von bedeutet einen starken negativen linearen Zusammenhang: Größere Werte der einen Variablen treten tendenziell mit kleineren Werten der anderen auf. Der Wert nennt für sich allein weder eine Ursache noch garantiert er, dass jeder Punkt genau auf derselben Geraden liegt.