Seiten im rechtwinkligen Dreieck benennen

Seitennamen bestimmen trigonometrische Verhältnisse

In der Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks beschreibt der Name einer Seite ihre Lage zu einem gewählten spitzen Winkel. Sind die Seiten richtig zugeordnet, lassen sich mit ihren Verhältnissen Entfernungen und Höhen berechnen, die nur schwer direkt messbar sind.

Die Höhe eines Turms kann zum Beispiel als eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks modelliert werden. Eine gemessene waagerechte Entfernung und der Höhenwinkel entscheiden dann, welches trigonometrische Verhältnis gebraucht wird.

Drei Seitennamen in einem rechtwinkligen Dreieck

Wähle einen der beiden spitzen Winkel als Bezugswinkel. Ist dieser Winkel $\theta$, heißen die Seiten wie folgt:

1. Gegenkathete: die Seite gegenüber von $\theta$. Sie berührt den Bezugswinkel nicht.

2. Ankathete: die Kathete, die $\theta$ berührt. Auch die Hypotenuse berührt einen spitzen Winkel. Mit Ankathete ist deshalb ausdrücklich die anliegende Seite gemeint, die nicht die Hypotenuse ist.

3. Hypotenuse: die Seite gegenüber dem rechten Winkel, $90^\circ$. Sie ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

Was sich beim Wechsel des Bezugswinkels ändert

Die Hypotenuse wird durch den rechten Winkel bestimmt, daher ändert sich ihr Name nicht. Die beiden anderen Namen sind relativ. Wechselt der Bezug vom einen spitzen Winkel zum anderen, wird die bisherige Gegenkathete zur Ankathete und die bisherige Ankathete zur Gegenkathete.

Diese Reihenfolge verhindert einen häufigen Fehler: Bestimme zuerst den Bezugswinkel $\theta$, benenne dann die Seiten und wähle erst danach Sinus, Kosinus oder Tangens.

Im Dreieck $ABC$ liege der rechte Winkel bei $C$. Für beide Bezugswinkel betrachten wir dasselbe Dreieck. Jede Seite behält deshalb ihre Länge.

Die Tabelle zeigt den Tausch der Kathetennamen. Wechselst du vom Winkel $A$ zum Winkel $B$, bleibt die Länge von $BC$ gleich. Aus der Gegenkathete wird die Ankathete.