Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Sinuswerte und Kosinuswerte für ausgewählte Winkel

Die Dezimalspalten enthalten $Näherungswerte$ . Behalte Brüche oder Wurzeln beim exakten Rechnen bei und runde erst das Endergebnis, wenn eine Dezimalzahl verlangt wird.

Winkel	Sinuswert $\sin \theta$	Dezimalwert	Kosinuswert $\cos \theta$	Dezimalwert
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$1$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$90^\circ$	$1$	$1$	$0$	$0$

Größenberechnung mit Sinus und Kosinus

Wähle das Verhältnis anhand $der bekannten und der gesuchten Seite$ . Die Seitennamen hängen vom Bezugswinkel ab. Dieselbe Regel gilt deshalb für Gebäudemaße, Komponenten einer Verschiebung und Querschnitte von Bauwerken.

Gesuchte Größe	Bekannte Seite	Beziehung
Höhe oder senkrechte Komponente	Hypotenuse	$h=c\sin\theta$
Waagerechte Strecke oder Komponente	Hypotenuse	$d=c\cos\theta$
Seillänge oder Hypotenuse	Höhe	$c=h/\sin\theta$

In der Navigation lässt sich eine Verschiebung in waagerechte und senkrechte Komponenten einer gewählten Ebene zerlegen. Bei einem Dach- oder Pyramidenquerschnitt entscheidet der Bezugswinkel, welche Strecken als Höhe, waagerechter Abstand und Hypotenuse in das Verhältnis eingehen.

Ein rechtwinkliges Modell einer Pyramide

Betrachte einen mittleren Schnitt durch die Spitze einer regelmäßigen Pyramide und den Mittelpunkt einer Grundkante. Eine Hälfte dieses Schnitts ist ein rechtwinkliges Dreieck. Seine senkrechte Kathete ist die Pyramidenhöhe, seine waagerechte Kathete die $halbe Grundbreite$ und seine Hypotenuse die Seitenhöhe vom Grundkantenmittelpunkt zur Spitze.

Verwenden des Sinus zur Berechnung der Pyramidenhöhe

Die Seitenhöhe sei $600 \text{ m}$ lang und bilde mit der Grundfläche einen Winkel von $41^\circ$ . Die Pyramidenhöhe liegt $diesem Winkel gegenüber$ .

Berechnung der Pyramidenhöhe mit Sinus

Mittlerer Schnitt durch die Spitze und den Mittelpunkt einer Grundkante.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, verwenden wir das Sinusverhältnis:

\sin 41^\circ = \frac{\text{Pyramidenhöhe}}{\text{Seitenhöhe}}

Die modellierte Pyramidenhöhe beträgt ungefähr $393{,}6 \text{ m}$ .

Mit Kosinus die halbe Grundbreite berechnen

Die $waagerechte Kathete$ liegt am Winkel $41^\circ$ an. Daher liefert der Kosinus die halbe Grundbreite:

\cos 41^\circ = \frac{\text{halbe Grundbreite}}{\text{Seitenhöhe}}

Die volle Grundbreite dieses Schnitts beträgt somit ungefähr $2y = 905{,}7 \text{ m}$ .

Unterschiede und Ähnlichkeiten zwischen Sin Cos und Tan

Die drei Verhältnisse verwenden dieselben drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, vergleichen aber jeweils ein $anderes Paar$ . Das verwendete Seitenpaar von den gemeinsamen Eigenschaften zu trennen, hält Sinus, Kosinus und Tangens beim Lesen auseinander.

Unterschiede

Jede Zeile nennt das Seitenpaar, das ein Verhältnis vergleicht, geschrieben als Bruch zweier Seiten desselben Dreiecks.

$Sinus$ $\sin \theta$ vergleicht die Gegenkathete mit der Hypotenuse.
$Kosinus$ $\cos \theta$ vergleicht die Ankathete mit der Hypotenuse.
$Tangens$ $\tan \theta$ vergleicht die Gegenkathete mit der Ankathete.

Ähnlichkeiten

Alle drei Verhältnisse werden am selben rechtwinkligen Dreieck definiert, sie haben also mehrere gemeinsame Eigenschaften. Jedes hängt $nur vom Winkel$ ab, verschieden große Dreiecke liefern deshalb denselben Wert. Die gemeinsamen Eigenschaften folgen aus dieser Definition, und die Division, die alle drei Verhältnisse verbindet, verlangt einen Kosinus ungleich null.

Alle drei sind trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken.
Alle drei ändern ihre Werte entsprechend dem Winkel.
Diese drei Verhältnisse haben einen mathematischen Zusammenhang:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\qquad \cos \theta \ne 0$

Übungsaufgabe

Ein Kind lässt einen Drachen $3{,}5 \text{ m}$ über ebenem Boden steigen. Es hält das Ende der geraden, gespannten Schnur $60 \text{ cm}$ über dem Boden. Die Schnur bildet mit der Waagerechten einen Winkel von $25^\circ$ . Wie lang ist sie?

Drachenproblem

Die senkrechte Kathete misst den Höhenunterschied zwischen dem Drachen und der Hand an der Schnur.

Welches trigonometrische Verhältnis sollten wir verwenden, um dieses Problem zu lösen?

$Richtige Lösung$ :

Wir müssen die Schnurlänge (Hypotenuse) berechnen.
Wir kennen die effektive Höhe des Drachens, die $3{,}5 \text{ m} - 0{,}6 \text{ m} = 2{,}9 \text{ m}$ beträgt.
Wir kennen den Höhenwinkel $25^\circ$ .
Da wir die Hypotenuse suchen und die Gegenkathete (effektive Höhe) kennen, verwenden wir das Sinusverhältnis:
$\sin 25^\circ = \frac{\text{effektive Höhe}}{\text{Schnurlänge}}$

Auf Zehntelmeter gerundet ist die Schnur ungefähr $6{,}9 \text{ m}$ lang.

Sinusverhältnis

Der Sinus eines Winkels $\theta$ in einem rechtwinkligen Dreieck ist $das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse$ .

\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Visualisierung von Sinus (

\sin \theta

)

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich

\sin

mit dem Winkel verändert.

Kosinusverhältnis

Der Kosinus eines Winkels $\theta$ in einem rechtwinkligen Dreieck ist das $Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse$ .

\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

Visualisierung von Kosinus (

\cos \theta

)