Die drei grundlegenden trigonometrischen Verhältnisse

Feste Seitenverhältnisse bei gleichem spitzen Winkel

Für einen $festen spitzen Winkel$ im rechtwinkligen Dreieck haben entsprechende Seiten stets dieselben Verhältnisse. Die drei grundlegenden Verhältnisse sind Sinus ( $\sin$ ), Kosinus ( $\cos$ ) und Tangens ( $\tan$ ).

\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Zuerst müssen wir die drei Seiten eindeutig benennen:

$Hypotenuse$ : die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel $90^\circ$ gegenüber.
$Gegenkathete$ : die Seite gegenüber dem betrachteten Winkel $\theta$ .
$Ankathete$ : die Kathete, die am betrachteten Winkel $\theta$ anliegt.

Visualisierung von Dreiecksseiten

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich Gegenkathete und Ankathete mit dem betrachteten Winkel ändern.

Sinus

Der Sinus des Winkels $\theta$ ist das $Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse$ .

\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Visualisierung von Sinus (

\sin \theta

)

Beobachte, wie sich

\sin \theta

mit dem Winkel verändert.

Beispiele für Sinuswerte

Die Tabelle enthält den Sinus der Standardwinkel in $exakter Form$ und als Dezimalzahl, damit du einen Wert in beiden Darstellungen prüfen kannst.

Winkel	Exakter Sinuswert	Dezimale Näherung
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$90^\circ$	$1$	$1$

Kosinus

Der Kosinus des Winkels $\theta$ ist das $Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse$ .

\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

Visualisierung von Kosinus (

\cos \theta

)

Beobachte, wie sich

\cos \theta

mit dem Winkel verändert.

Beispiele für Kosinuswerte

Dieselben Standardwinkel erscheinen hier mit ihren Kosinuswerten, und die Dezimalspalte zeigt den $gerundeten Wert$ neben der exakten Form.

Winkel	Exakter Kosinuswert	Dezimale Näherung
$0^\circ$	$1$	$1$
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$90^\circ$	$0$	$0$

Tangens

Der Tangens des Winkels $\theta$ ist $das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete$ . Er ist außerdem der Quotient aus Sinus und Kosinus, sofern $\cos \theta\ne0$ gilt.

\begin{aligned} &\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \\ &\cos \theta\ne0 \end{aligned}

Visualisierung des Tangens (

\tan \theta

)

Beobachte, wie sich

\tan \theta

mit dem Winkel verändert.

Beispiele für Tangenswerte

Die Tabelle ergänzt die drei Hauptverhältnisse um die $Tangenswerte$ für dieselben Standardwinkel.

Winkel	Exakter Tangenswert	Dezimale Näherung
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0{,}58$
$45^\circ$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt{3}$	$1{,}73$
$90^\circ$	$\text{nicht definiert}$	$\text{nicht definiert}$

Sinus Kosinus und Tangens im Einheitskreis

Der $Einheitskreis$ ist ein Kreis mit dem Radius $1$ . Mit ihm lassen sich die drei Verhältnisse auch für Winkel außerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks deuten.

Einheitskreis und trigonometrische Verhältnisse

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich

\sin \theta

\cos \theta

und

\tan \theta

auf dem Einheitskreis verändern.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Bogenmaß

Im Einheitskreis:

Die $x$ -Koordinate auf dem Einheitskreis ist $\cos \theta$ .
Die $y$ -Koordinate auf dem Einheitskreis ist $\sin \theta$ .
Für $\cos \theta\ne0$ ist $\tan \theta$ die Steigung der Geraden vom Mittelpunkt zum Punkt auf dem Einheitskreis. Bei $90^\circ$ ist diese Gerade senkrecht, daher sind ihre Steigung und der Tangens nicht definiert.

Relationen zwischen den drei trigonometrischen Verhältnissen

Am Einheitskreis hat das rechtwinklige Dreieck für einen spitzen Winkel die Kathetenlängen $\cos\theta$ und $\sin\theta$ sowie die Hypotenuse $1$ . Der $Satz des Pythagoras$ verbindet die Quadrate beider Verhältnisse:

(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1^2=1

Außerhalb des ersten Quadranten können die Koordinaten negativ sein. Die Kreisgleichung $x^2+y^2=1$ gilt trotzdem. Deshalb gilt die Identität für jeden Winkel.

Der Tangens teilt die Gegenkathete durch die Ankathete. Bezeichnen wir die Gegenkathete mit $a$ , die Ankathete mit $b$ und die Hypotenuse mit $c$ , kürzt sich beim Teilen von Sinus durch Kosinus die Hypotenuse:

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\tan\theta

Der $Nenner muss ungleich null sein$ . Am Einheitskreis gilt diese Tangensbeziehung genau dann, wenn $\cos\theta\ne0$ ist.

Übung

Das folgende rechtwinklige Dreieck hat einen Winkel von $30^\circ$ und die Hypotenuse $1$ . Bestimme die $exakten Längen$ von Gegenkathete und Ankathete und berechne anschließend $\sin 30^\circ$ , $\cos 30^\circ$ und $\tan 30^\circ$ .

Dreieck mit einem Winkel von

30^\circ

Rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von

30^\circ

Lösung

Die exakten Verhältnisse des besonderen Winkels liefern die beiden Kathetenlängen direkt:

\text{Gegenkathete}=1\cdot\sin 30^\circ=\frac{1}{2}

Werden zuerst $die exakten Werte$ verwendet und erst am Ende gerundet, bleibt die Identität $\tan \theta=\sin \theta/\cos \theta$ erhalten. So entsteht kein zusätzlicher Fehler durch das Dividieren bereits gerundeter Dezimalzahlen.

Feste Seitenverhältnisse bei gleichem spitzen Winkel

\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Zuerst müssen wir die drei Seiten eindeutig benennen:

$Hypotenuse$ : die längste Seite des Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel $90^\circ$ gegenüber.
$Gegenkathete$ : die Seite gegenüber dem betrachteten Winkel $\theta$ .
$Ankathete$ : die Kathete, die am betrachteten Winkel $\theta$ anliegt.

Visualisierung von Dreiecksseiten

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich Gegenkathete und Ankathete mit dem betrachteten Winkel ändern.

Sinus

Der Sinus des Winkels $\theta$ ist das $Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse$ .

\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

Visualisierung von Sinus (

\sin \theta

)

Beobachte, wie sich

\sin \theta

mit dem Winkel verändert.

Beispiele für Sinuswerte

Die Tabelle enthält den Sinus der Standardwinkel in $exakter Form$ und als Dezimalzahl, damit du einen Wert in beiden Darstellungen prüfen kannst.

Winkel	Exakter Sinuswert	Dezimale Näherung
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$90^\circ$	$1$	$1$

Kosinus

Der Kosinus des Winkels $\theta$ ist das $Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse$ .

\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

Visualisierung von Kosinus (

\cos \theta

)

Beobachte, wie sich

\cos \theta

mit dem Winkel verändert.

Beispiele für Kosinuswerte

Dieselben Standardwinkel erscheinen hier mit ihren Kosinuswerten, und die Dezimalspalte zeigt den $gerundeten Wert$ neben der exakten Form.

Winkel	Exakter Kosinuswert	Dezimale Näherung
$0^\circ$	$1$	$1$
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$0{,}87$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0{,}71$
$60^\circ$	$\frac{1}{2}$	$0{,}5$
$90^\circ$	$0$	$0$

Tangens

Der Tangens des Winkels $\theta$ ist $das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete$ . Er ist außerdem der Quotient aus Sinus und Kosinus, sofern $\cos \theta\ne0$ gilt.

\begin{aligned} &\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \\ &\cos \theta\ne0 \end{aligned}

Visualisierung des Tangens (

\tan \theta

)

Beobachte, wie sich

\tan \theta

mit dem Winkel verändert.

Beispiele für Tangenswerte

Die Tabelle ergänzt die drei Hauptverhältnisse um die $Tangenswerte$ für dieselben Standardwinkel.

Winkel	Exakter Tangenswert	Dezimale Näherung
$0^\circ$	$0$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0{,}58$
$45^\circ$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt{3}$	$1{,}73$
$90^\circ$	$\text{nicht definiert}$	$\text{nicht definiert}$

Sinus Kosinus und Tangens im Einheitskreis

Der $Einheitskreis$ ist ein Kreis mit dem Radius $1$ . Mit ihm lassen sich die drei Verhältnisse auch für Winkel außerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks deuten.

Einheitskreis und trigonometrische Verhältnisse

Ändere den Winkel im Eingabefeld und beobachte, wie sich

\sin \theta

\cos \theta

und

\tan \theta

auf dem Einheitskreis verändern.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Bogenmaß

Im Einheitskreis:

Die $x$ -Koordinate auf dem Einheitskreis ist $\cos \theta$ .
Die $y$ -Koordinate auf dem Einheitskreis ist $\sin \theta$ .
Für $\cos \theta\ne0$ ist $\tan \theta$ die Steigung der Geraden vom Mittelpunkt zum Punkt auf dem Einheitskreis. Bei $90^\circ$ ist diese Gerade senkrecht, daher sind ihre Steigung und der Tangens nicht definiert.

Relationen zwischen den drei trigonometrischen Verhältnissen

(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1^2=1

Außerhalb des ersten Quadranten können die Koordinaten negativ sein. Die Kreisgleichung $x^2+y^2=1$ gilt trotzdem. Deshalb gilt die Identität für jeden Winkel.

\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\tan\theta

Der $Nenner muss ungleich null sein$ . Am Einheitskreis gilt diese Tangensbeziehung genau dann, wenn $\cos\theta\ne0$ ist.

Übung

Dreieck mit einem Winkel von

30^\circ

Rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von

30^\circ

Lösung

Die exakten Verhältnisse des besonderen Winkels liefern die beiden Kathetenlängen direkt:

\text{Gegenkathete}=1\cdot\sin 30^\circ=\frac{1}{2}