Grundlagen der Trigonometrie

Winkel und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck

Das Wort Trigonometrie ist aus griechischen Wörtern für Dreieck und Maß gebildet. Rechtwinklige Dreiecke sind ein natürlicher Ausgangspunkt, weil ihre Seitenverhältnisse durch die Winkel bestimmt werden. Später erweitert die Trigonometrie diese Ideen auf den Einheitskreis, periodische Funktionen und viele Situationen außerhalb von Dreiecken.

Erinnerung an den Satz des Pythagoras

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ sowie der Hypotenuse $c$ gilt:

Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Mit diesem Satz leiten wir später die exakten Seitenverhältnisse besonderer rechtwinkliger Dreiecke her.

Verhältnisse und Proportionen

Trigonometrische Funktionen beginnen als Verhältnisse von Seitenlängen. Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen. Eine Proportion sagt aus, dass zwei Verhältnisse gleich sind.

Ein senkrechtes Lineal und ein senkrechter Baum stehen auf demselben ebenen Boden. Ihre Schatten werden zur gleichen Zeit gemessen. Paralleles Sonnenlicht macht die beiden Höhen-Schatten-Dreiecke ähnlich. Das Lineal sei $6 \text{ cm}$ hoch, sein Schatten $3 \text{ cm}$ lang und der Baumschatten $150 \text{ cm}$ lang. Für die Baumhöhe $h$ gilt dann:

Die Proportion gilt, weil die beiden Dreiecke dieselben beiden spitzen Winkel haben. Das bloße Vorhandensein eines Schattens reicht dafür nicht aus.

Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Dreiecke haben gleiche entsprechende Winkel und proportionale entsprechende Seiten. Jedes der folgenden Kriterien reicht aus, um Ähnlichkeit zu beweisen:

Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, auch wenn ihre Größen verschieden sind. Jede entsprechende Länge wird mit demselben Maßstabsfaktor multipliziert.

Anwendungen ähnlicher Dreiecke

Mit dem gemeinsamen Maßstabsfaktor lassen sich unbekannte Längen bestimmen oder Proportionen erhalten:

1. Höhenmessung: Schatten oder Sichtlinien können ähnliche Dreiecke für schwer direkt messbare Objekte bilden.

2. Maßstäbliche Zeichnungen: Ein Plan oder Modell behält seine Proportionen, wenn jede Länge mit demselben Maßstabsfaktor vergrößert oder verkleinert wird.

3. Geometrie und Konstruktion: Indirekte Messungen lassen sich über entsprechende Winkel und proportionale Seiten prüfen.

Trigonometrische Verhältnisse

Trigonometrische Verhältnisse vergleichen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks relativ zu einem gewählten spitzen Winkel.

Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel $\theta$ (Theta) vor. Wir nennen seine Seiten wie folgt:

• Hypotenuse: die Seite gegenüber dem rechten Winkel
• Gegenkathete: die Seite gegenüber dem Winkel $\theta$.
• Ankathete: die Seite neben dem Winkel $\theta$ außer der Hypotenuse.

Aus diesen drei Seiten entstehen sechs grundlegende trigonometrische Verhältnisse. Für einen spitzen Winkel in einem nicht entarteten rechtwinkligen Dreieck sind alle drei Seitenlängen positiv, daher sind alle folgenden Verhältnisse definiert:

1. Sinus ($\sin$):

   $$\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$$

2. Kosinus ($\cos$):

   $$\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$

3. Tangens ($\tan$):

   $$\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$

4. Kosekans ($\csc$):

   $$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$$

5. Sekans ($\sec$):

   $$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$$

6. Kotangens ($\cot$):

   $$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$$

Seitenverhältnisse bei gleichem Winkel

Zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben spitzen Winkel, zum Beispiel $\theta=30^\circ$, haben auch denselben rechten Winkel. Nach dem WW-Kriterium sind sie ähnlich. Werden alle Seiten mit demselben Faktor skaliert, bleiben die Quotienten entsprechender Seitenlängen unverändert.

Einfaches Beispiel:

• Das Dreieck $A$ hat eine Gegenkathete von $3 \text{ cm}$ und eine Hypotenuse von $6 \text{ cm}$.
• Das Dreieck $B$ hat eine Gegenkathete von $5 \text{ cm}$ und eine Hypotenuse von $10 \text{ cm}$.

Wenn wir $\sin \theta$ für beide Dreiecke berechnen:

• $\sin \theta$ für das Dreieck $A$ ist $\frac{3}{6} = 0{,}5$.
• $\sin \theta$ für das Dreieck $B$ ist $\frac{5}{10} = 0{,}5$.

Obwohl die Dreiecke verschieden groß sind, bleibt $\sin \theta$ gleich. Dieselbe Begründung gilt für die anderen Seitenverhältnisse.

Auf dem Einheitskreis hat der zu $\theta$ gehörende Punkt die Koordinaten $(\cos \theta,\sin \theta)$. Diese Definition erweitert Sinus und Kosinus über die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks hinaus.

Für spitze Winkel stimmen die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck mit den Koordinaten des Einheitskreises überein. Daher gelten dieselben Werte für Dreiecke verschiedener Größe.

Längen messen und periodische Veränderungen modellieren

Trigonometrie verbindet Winkel mit Längen, etwa bei Schattenmessungen und Dachneigungen. Am Einheitskreis wiederholen sich Sinus und Kosinus nach einer Umdrehung. Diese Wiederholung wird zur Modellierung von Wellen genutzt. Astronomische Navigation benötigt dagegen die Geometrie auf der Erdoberfläche.

Messen der Höhe mithilfe von Schatten

Für nahe beieinanderstehende senkrechte Objekte auf ebenem Boden ist Höhe geteilt durch Schattenlänge gleich, wenn alle Schatten zur selben Zeit gemessen werden. Das folgt aus parallelem Sonnenlicht und ähnlichen Dreiecken.

Vor mehr als $2200 \text{ Jahren}$ schätzte Eratosthenes den Erdumfang, indem er den Sonnenwinkel an zwei Orten verglich und die Winkeldifferenz mit der Entfernung zwischen diesen Orten verband. Ohne diese Entfernung kann die Winkeldifferenz allein den Erdumfang nicht bestimmen.

Navigation

Bei der astronomischen Navigation misst man den Höhenwinkel eines Himmelskörpers über dem Horizont und notiert die Beobachtungszeit. Das U.S. Naval Observatory stellt astronomische Daten bereit, mit denen aus solchen Beobachtungen Standlinien berechnet werden. Eine Beobachtung grenzt die möglichen Schiffspositionen ein. Zur Positionsbestimmung werden mehrere Beobachtungen sowie Zeit- und Bewegungsdaten des Schiffs kombiniert.

Architektur und Bauwesen

Ein Dach hat einen Neigungswinkel von $30^\circ$ zur Waagerechten. Die waagerechte Strecke von der Dachkante zum First beträgt $3\text{ m}$. Der Sparren bildet die Hypotenuse. Seine Länge $L$ berechnen wir deshalb mit dem Kosinus:

Der Sparren ist länger als die waagerechte Strecke. Das passt dazu, dass die Hypotenuse die längste Seite ist. Ein Überstand über die Dachkante hinaus ist in dieser Rechnung nicht enthalten.

Elektronik und Wellen

Schallwellen, Radiowellen und elektrische Wechselströme können mithilfe von Sinus- und Kosinusfunktionen modelliert werden. Eine Welle wiederholt sich, ein Winkel, der über eine volle Umdrehung hinausgeht, beschreibt also den nächsten Zyklus. Genau diese Wiederholung beschreiben Sinus und Kosinus bei periodischen Signalen.

Höhenmessung mit Schattenverhältnissen

Wähle nahe beieinanderstehende senkrechte Objekte auf ebenem Boden und miss ihre Schatten fast gleichzeitig. Dann kann der Sonnenwinkel als gleich betrachtet werden.

1. Miss eine Bezugshöhe $h_r$ und ihre waagerechte Schattenlänge $s_r$.

2. Berechne das gemeinsame Verhältnis $k=h_r/s_r$.

3. Miss die Schattenlänge $s$ eines anderen Objekts und schätze seine Höhe mit $h=ks$.

4. Berechne bei Bedarf den Sonnenhöhenwinkel mit $\theta=\arctan k$.

Wirft ein $1{,}5 \text{ m}$ hohes Bezugsobjekt einen $2{,}0 \text{ m}$ langen Schatten, dann ist $k=0{,}75$. Für ein Objekt mit $8{,}0 \text{ m}$ Schattenlänge ergibt sich

Ist der Boden geneigt, steht ein Objekt nicht senkrecht oder liegen die Messzeiten weit auseinander, gilt dieses einfache Modell nicht ohne Anpassung.