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Zuerst müssen wir die drei Seiten eindeutig benennen:
Der Sinus des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.
Die Tabelle enthält den Sinus der Standardwinkel in exakter Form und als Dezimalzahl, damit du einen Wert in beiden Darstellungen prüfen kannst.
| Winkel | Exakter Sinuswert | Dezimale Näherung |
|---|---|---|
Der Kosinus des Winkels ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse.
Dieselben Standardwinkel erscheinen hier mit ihren Kosinuswerten, und die Dezimalspalte zeigt den gerundeten Wert neben der exakten Form.
| Winkel | Exakter Kosinuswert | Dezimale Näherung |
|---|---|---|
Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Er ist außerdem der Quotient aus Sinus und Kosinus, sofern gilt.
Die Tabelle ergänzt die drei Hauptverhältnisse um die Tangenswerte für dieselben Standardwinkel.
| Winkel | Exakter Tangenswert | Dezimale Näherung |
|---|---|---|
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius . Mit ihm lassen sich die drei Verhältnisse auch für Winkel außerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks deuten.
Im Einheitskreis:
Am Einheitskreis hat das rechtwinklige Dreieck für einen spitzen Winkel die Kathetenlängen und sowie die Hypotenuse . Der Satz des Pythagoras verbindet die Quadrate beider Verhältnisse:
Außerhalb des ersten Quadranten können die Koordinaten negativ sein. Die Kreisgleichung gilt trotzdem. Deshalb gilt die Identität für jeden Winkel.
Der Tangens teilt die Gegenkathete durch die Ankathete. Bezeichnen wir die Gegenkathete mit , die Ankathete mit und die Hypotenuse mit , kürzt sich beim Teilen von Sinus durch Kosinus die Hypotenuse:
Der Nenner muss ungleich null sein. Am Einheitskreis gilt diese Tangensbeziehung genau dann, wenn ist.
Das folgende rechtwinklige Dreieck hat einen Winkel von und die Hypotenuse . Bestimme die exakten Längen von Gegenkathete und Ankathete und berechne anschließend , und .
Die exakten Verhältnisse des besonderen Winkels liefern die beiden Kathetenlängen direkt:
Werden zuerst die exakten Werte verwendet und erst am Ende gerundet, bleibt die Identität erhalten. So entsteht kein zusätzlicher Fehler durch das Dividieren bereits gerundeter Dezimalzahlen.
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