Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Gegenkathete und Ankathete ins Verhältnis setzen

Der Tangens wird als $\tan$ geschrieben und in rechtwinkligen Dreiecken verwendet. Er setzt die Gegenkathete ins Verhältnis zur Ankathete desselben spitzen Winkels. Weil nur das Verhältnis zählt, liefert ein größeres Dreieck mit demselben Winkel denselben Tangenswert.

Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete, jeweils bezogen auf den betrachteten Winkel.

Für den Winkel $\theta$ in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

• Die Gegenkathete liegt dem Winkel $\theta$ gegenüber.
• Die Ankathete ist die Seite neben dem Winkel $\theta$ außer der Hypotenuse.
• Der Tangens entsteht, indem die Länge der Gegenkathete durch die Länge der Ankathete geteilt wird.

Beispiele für Tangenswerte

Tangenswerte besonderer Winkel lassen sich exakt angeben. Die Dezimalzahlen sind nur Näherungen:

• $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$
• $\tan 45^\circ = 1$
• $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1{,}732$

Diese exakten Werte folgen aus den Seitenverhältnissen rechtwinkliger Dreiecke mit Winkeln von $30^\circ$, $45^\circ$ oder $60^\circ$.

Tangenswerte berechnen

Ein Tangenswert folgt aus den beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks, deshalb liest das folgende Beispiel die Gegenkathete und die Ankathete ab und teilt sie danach.

Beispiel zur Berechnung des Tangens

Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von $30^\circ$, einer Gegenkathete von $15 \text{ cm}$, einer Ankathete von $15\sqrt{3} \text{ cm}$ und einer Hypotenuse von $30 \text{ cm}$.

Der Tangenswert dieses Winkels ist:

Steigungen und Höhen messen

Der Tangens verbindet einen Neigungswinkel mit der vertikalen und horizontalen Änderung in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese Beziehung lässt sich für folgende Berechnungen nutzen:

1. Höhe eines Objekts aus Höhenwinkel und waagerechtem Abstand
2. Steigung einer Straße oder Treppe aus vertikalem Anstieg und waagerechter Strecke
3. Dachwinkel aus Höhe und Breite des Querschnitts

Übungsaufgabe

Betrachte das folgende rechtwinklige Dreieck. Der spitze Winkel ist $\theta$, die Gegenkathete ist $15 \text{ cm}$ lang und die Ankathete $7 \text{ cm}$.

Bestimme $\tan \theta$ und erkläre, welche beiden Seiten das Verhältnis bilden.

Ausführliche Lösung

Bezogen auf $\theta$ ist die $15 \text{ cm}$ lange Seite die Gegenkathete und die $7 \text{ cm}$ lange Seite die Ankathete. Der Tangens vergleicht Gegenkathete und Ankathete:

Die Zentimetereinheiten kürzen sich, weil der Tangens ein Verhältnis ist. Somit gilt $\tan \theta \approx 2{,}14$. Der Wert ist größer als $1$, was zur längeren Gegenkathete passt.

Zur Kontrolle gilt $\theta=\arctan(15/7)\approx65{,}0^\circ$. Das stimmt mit dem spitzen Winkel im Diagramm überein.