Spezielle Winkel in trigonometrischen Vergleichen

Winkel mit exakt bestimmbaren trigonometrischen Werten

Sonderwinkel sind Winkel, deren trigonometrische Werte sich $ohne Taschenrechner exakt angeben lassen$ . Die Werte folgen aus zwei bekannten rechtwinkligen Dreiecken und aus den Koordinaten auf dem Einheitskreis.

Die gebräuchlichsten Sonderwinkel sind $0^\circ$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ und $90^\circ$ .

Visualisierung spezieller Winkel auf dem Einheitskreis

Stelle den Winkel im Eingabefeld auf

0^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

oder

90^\circ

, um die Lage dieser Sonderwinkel zu vergleichen.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Bogenmaß

Woher die exakten Werte kommen

Die exakten Werte für $30^\circ$ , $45^\circ$ und $60^\circ$ folgen aus zwei Dreiecken, deren Seitenlängen exakt bekannt sind. Das erste Dreieck entsteht aus der $Hälfte eines Quadrats$ , das zweite aus der Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks.

Das Dreieck mit fünfundvierzig Grad

Teilt man ein Quadrat entlang einer Diagonalen, entstehen $gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke$ . Sind beide Katheten $1$ lang, liefert der Satz des Pythagoras die Hypotenuse $\sqrt{2}$ :

Gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck

Beim Ausgangswinkel sind beide Katheten gleich lang. Ändere den Winkel und beobachte, wann die Katheten nicht mehr gleich lang sind.

(\sqrt2)^2=1^2+1^2=2

Dreiecke mit dreißig und sechzig Grad

Halbiert man ein $gleichseitiges Dreieck$ mit Seitenlänge $2$ , entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten gegenüber $30^\circ$ , gegenüber $60^\circ$ und entlang der Hypotenuse haben die Längen $1$ , $\sqrt{3}$ und $2$ :

Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks

Das Ausgangsdreieck ist die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks. Die Seite gegenüber dem kleineren Winkel ist halb so lang wie die Hypotenuse.

(\sqrt3)^2=2^2-1^2=3

Die Werte bei $0^\circ$ und $90^\circ$ stammen von den Einheitskreispunkten $(1,0)$ und $(0,1)$ . Weil der Tangens $\sin \theta/\cos \theta$ ist, ist $\tan 90^\circ$ nicht definiert: Sein Nenner ist null.

Tabelle der exakten Werte

Die Tabelle enthält $exakte Werte$ . Behalte Brüche und Wurzeln daher beim Rechnen bei.

Verhältnis	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin \theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{nicht definiert}$

Winkel mit exakt bestimmbaren trigonometrischen Werten

Sonderwinkel sind Winkel, deren trigonometrische Werte sich

ohne Taschenrechner exakt angeben lassen

. Die Werte folgen aus zwei bekannten rechtwinkligen Dreiecken und aus den Koordinaten auf dem Einheitskreis.

Die gebräuchlichsten Sonderwinkel sind

0^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

und

90^\circ

Visualisierung spezieller Winkel auf dem Einheitskreis

Stelle den Winkel im Eingabefeld auf

0^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

oder

90^\circ

, um die Lage dieser Sonderwinkel zu vergleichen.

\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan\theta = 1

\theta = 45^\circ

0,79 Bogenmaß

Woher die exakten Werte kommen

Die exakten Werte für

30^\circ

45^\circ

und

60^\circ

folgen aus zwei Dreiecken, deren Seitenlängen exakt bekannt sind. Das erste Dreieck entsteht aus der

Hälfte eines Quadrats

, das zweite aus der Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks.

Teilt man ein Quadrat entlang einer Diagonalen, entstehen

gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke

. Sind beide Katheten

1

lang, liefert der Satz des Pythagoras die Hypotenuse

\sqrt{2}

Gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck

Beim Ausgangswinkel sind beide Katheten gleich lang. Ändere den Winkel und beobachte, wann die Katheten nicht mehr gleich lang sind.

(\sqrt2)^2=1^2+1^2=2

\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\tan 45^\circ=\frac{1}{1}=1

Halbiert man ein

gleichseitiges Dreieck

mit Seitenlänge

2

, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten gegenüber

30^\circ

, gegenüber

60^\circ

und entlang der Hypotenuse haben die Längen

1

\sqrt{3}

und

2

Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks

Das Ausgangsdreieck ist die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks. Die Seite gegenüber dem kleineren Winkel ist halb so lang wie die Hypotenuse.

(\sqrt3)^2=2^2-1^2=3

\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}

\cos 30^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}

Die Werte bei

0^\circ

und

90^\circ

stammen von den Einheitskreispunkten

(1,0)

und

(0,1)

. Weil der Tangens

\sin \theta/\cos \theta

ist, ist

\tan 90^\circ

nicht definiert: Sein Nenner ist null.

Tabelle der exakten Werte

Die Tabelle enthält

exakte Werte

. Behalte Brüche und Wurzeln daher beim Rechnen bei.

Verhältnis	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin \theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan \theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\text{nicht definiert}$