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In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete, jeweils bezogen auf den betrachteten Winkel.
Für den Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Tangenswerte besonderer Winkel lassen sich exakt angeben. Die Dezimalzahlen sind nur Näherungen:
Diese exakten Werte folgen aus den Seitenverhältnissen rechtwinkliger Dreiecke mit Winkeln von , oder .
Ein Tangenswert folgt aus den beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks, deshalb liest das folgende Beispiel die Gegenkathete und die Ankathete ab und teilt sie danach.
Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von , einer Gegenkathete von , einer Ankathete von und einer Hypotenuse von .
Der Tangenswert dieses Winkels ist:
Der Tangens verbindet einen Neigungswinkel mit der vertikalen und horizontalen Änderung in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese Beziehung lässt sich für folgende Berechnungen nutzen:
Betrachte das folgende rechtwinklige Dreieck. Der spitze Winkel ist , die Gegenkathete ist lang und die Ankathete .
Bestimme und erkläre, welche beiden Seiten das Verhältnis bilden.
Bezogen auf ist die lange Seite die Gegenkathete und die lange Seite die Ankathete. Der Tangens vergleicht Gegenkathete und Ankathete:
Die Zentimetereinheiten kürzen sich, weil der Tangens ein Verhältnis ist. Somit gilt . Der Wert ist größer als , was zur längeren Gegenkathete passt.
Zur Kontrolle gilt . Das stimmt mit dem spitzen Winkel im Diagramm überein.
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