Ein dreidimensionaler Vektor besitzt im Raum einen Betrag und eine Richtung. Während ein zweidimensionaler Vektor in einer Ebene mit x- und -Achse liegt, hat ein räumlicher Vektor Komponenten entlang der drei Koordinatenachsen , und .
y
x
y
z
Vektor im dreidimensionalen Raum
Darstellung eines Vektors im Raum mit den Komponenten x, y, und z.
Ein Vektor im Raum besitzt drei skalare Koordinatenkomponenten. Multiplizieren wir jeden Skalar mit dem Einheitsvektor seiner Achse, erhalten wir die zugehörige Vektorprojektion:
a=(ax,ay,az)=axi+ayj+azk
dabei gilt:
ax ist die skalare Komponente entlang der x-Achse, axi die zugehörige Vektorprojektion
ay ist die skalare Komponente entlang der y-Achse, ayj die zugehörige Vektorprojektion
az ist die skalare Komponente entlang der z-Achse, azk die zugehörige Vektorprojektion
i,j,k sind die Einheitsvektoren auf der -, - und -Achse
Komponenten eines dreidimensionalen Vektors
Dreidimensionaler Vektor mit Komponenten auf der x-,y- und z-Achse.
Die Multiplikation eines Skalars k mit einem Vektor a vervielfacht dessen Betrag mit ∣k∣. Ist a nicht null, bleibt die Richtung für k>0 gleich und kehrt sich für k<0 um.
ka=(k⋅ax,k⋅ay,k⋅az)
Skalare Multiplikation eines Vektors
Darstellung der Skalarmultiplikation mit k für den Vektor a, wobei k=2 gilt.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist ein Vektor, dessen Skalarprodukt mit jedem Faktor null ist:
(a×b)⋅a=(a×b)⋅b=0
a×b=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)
Der Betrag des Kreuzprodukts beträgt:
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ
wobei θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.
Wenn a×b=0 gilt, steht seine Richtung senkrecht auf beiden Faktoren und folgt der Rechte-Hand-Regel von a zu b. Ist einer der Faktoren der Nullvektor oder sind beide Faktoren parallel, ist das Kreuzprodukt 0 und besitzt deshalb keine geometrische Richtung.
Kreuzprodukt von Vektoren
Die Rechte-Hand-Richtung von a×b, senkrecht zu beiden nicht parallelen Vektoren.
