Gegenvektor

Die Richtung eines Vektors bei gleicher Länge umkehren

Für einen Vektor $\vec{v}$ ungleich null hat sein Gegenvektor denselben Betrag, zeigt aber genau in die entgegengesetzte Richtung. Er wird als $-\vec{v}$ geschrieben.

Beschreibt $\vec{v}$ eine Verschiebung von links nach rechts, dann beschreibt $-\vec{v}$ eine gleich lange Verschiebung von rechts nach links. Ihre Längen stimmen überein, und ihre Richtungen sind entgegengesetzt.

Formel für einen Gegenvektor

Die Multiplikation mit dem Skalar $-1$ kehrt das Vorzeichen jeder Komponente um:

Gilt $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, dann ist:

Dabei gilt:

• $\vec{v}$ ist der ursprüngliche Vektor.
• $-\vec{v}$ ist sein Gegenvektor.
• Der Faktor $-1$ kehrt die Richtung um, ohne den Betrag zu ändern.

Den Gegenvektor bestimmen

Gegeben sei $\overrightarrow{AB}=6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$.

Sein Betrag ist:

Für den Gegenvektor multiplizieren wir jede Komponente mit $-1$:

Beide Vektoren haben den Betrag $10$, ihre Richtungen unterscheiden sich jedoch um $180^\circ$.

Eigenschaften von Gegenvektoren

1. Ihre Beträge sind gleich:

   $$|-\vec{v}|=|\vec{v}|$$

2. Bei einem Vektor ungleich null unterscheiden sich ihre Richtungen um $180^\circ$.

3. Ihre Summe ist der Nullvektor:

   $$\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}$$

4. Der Gegenvektor des Gegenvektors ist wieder der ursprüngliche Vektor:

   $$-(-\vec{v})=\vec{v}$$

Der Nullvektor ist sein eigener Gegenvektor, denn $-\vec{0}=\vec{0}$.

Anwendungen von Gegenvektoren

Gegenvektoren treten immer dann auf, wenn eine Richtung umgekehrt wird:

1. Verschiebung: Der Rückweg auf derselben geraden Strecke besitzt den entgegengesetzten Verschiebungsvektor.

2. Kräftegleichgewicht: Zwei gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte ergeben zusammen den Nullvektor.

3. Vektorgleichungen: Eine Subtraktion lässt sich als Addition eines Gegenvektors schreiben, $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$.

Einheitsvektoren und Gegenrichtung

Ein Einheitsvektor entsteht aus einem Vektor ungleich null, indem du ihn durch seine Länge teilst. Eine Multiplikation mit $-1$ kehrt seine Richtung um, während die Gerade dieselbe bleibt.

Einheitsvektor

Für einen Vektor $\vec{v}$ ungleich null ist der zugehörige Einheitsvektor:

Er hat den Betrag $1$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{v}$.

Zusammenhang mit dem Gegenvektor

Der Einheitsvektor in Gegenrichtung ist $-\hat{v}$. Multiplizieren wir ihn mit dem ursprünglichen Betrag, erhalten wir den Gegenvektor:

Damit sind die Rollen klar getrennt: $|\vec{v}|$ bestimmt die Länge, während $-\hat{v}$ die entgegengesetzte Richtung festlegt.