Ortsvektor

Die Lage eines Punktes vom Ursprung aus beschreiben

Ein Ortsvektor beginnt im Ursprung $O$ eines Koordinatensystems und endet am betrachteten Punkt. Er beschreibt damit eindeutig die Lage dieses Punktes im gewählten Koordinatensystem.

Eigenschaften von Ortsvektoren

Alle drei Eigenschaften folgen aus derselben Tatsache: Der Fuß ist im Ursprung $O$ festgelegt, deshalb bestimmt allein der Endpunkt den Vektor.

• Beginnt immer im Ursprung $O$ des Koordinatensystems
• Endet an einem bestimmten Punkt im Koordinatensystem
• Hat dieselben Koordinaten wie sein Endpunkt

Ortsvektoren darstellen

Liegt ein Punkt $P$ mit den Koordinaten $(x, y)$ in einer Ebene, dann lautet sein Ortsvektor vom Ursprung $O$ zum Punkt $P$: $\overrightarrow{OP} = (x, y)$.

Hat der Punkt $P$ im dreidimensionalen Raum die Koordinaten $(x, y, z)$, dann ist sein Ortsvektor $\overrightarrow{OP} = (x, y, z)$.

In der folgenden Darstellung bezeichnen $OA$, $OB$, $OC$ und $OD$ die Ortsvektoren vom Ursprung $O$ zu den Punkten $A$, $B$, $C$ und $D$.

Beispiele für Ortsvektoren

Die Punktkoordinaten sind zugleich die Komponenten des Ortsvektors, weil sein Anfangspunkt im Ursprung liegt. Lies die waagerechte und senkrechte Komponente direkt aus beiden Koordinaten ab.

• Punkt $A$ mit Koordinaten $(-3, 2)$
• Punkt $B$ mit Koordinaten $(7, 5)$

Jeder Ortsvektor trägt dieselben Zahlen wie die Koordinaten seines Punktes, weil er vom Ursprung zu diesem Punkt zeigt:

• $\overrightarrow{OA} = (-3, 2)$
• $\overrightarrow{OB} = (7, 5)$

Wozu Ortsvektoren dienen

Die Anwendungen lassen sich in zwei Gruppen teilen: eine einzelne Lage ablesen und zwei Lagen vergleichen.

1. Die Lage eines Punktes in einem Koordinatensystem festlegen
2. Andere Vektoren wie Verschiebungsvektoren berechnen
3. Aufgaben zu Positionen und Ortsänderungen übersichtlich lösen
4. Einen Ort relativ zu einem gewählten Koordinatenursprung darstellen, auch wenn die Koordinaten aus einem Navigationssystem wie GPS stammen

Zusammenhang mit Verschiebungsvektoren

Der Verschiebungsvektor ergibt sich aus der Differenz zweier Ortsvektoren. Sind $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OB}$ gegeben, dann ist der Verschiebungsvektor von $A$ nach $B$:

Für das vorherige Beispiel ergibt sich der Verschiebungsvektor von $A$ nach $B$ so:

Um vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zu gelangen, bewegen wir uns $10 \text{ Einheiten}$ nach rechts und $3 \text{ Einheiten}$ nach oben.