Grundlegende Konzepte der Vektoraddition
Bei der Addition von Skalaren spielt nur ihr Zahlenwert eine Rolle. So ergeben Zucker und Zucker zusammen Zucker. Bei Vektoren müssen wir dagegen Betrag und Richtung berücksichtigen.
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Bei der Addition von Skalaren spielt nur ihr Zahlenwert eine Rolle. So ergeben Zucker und Zucker zusammen Zucker. Bei Vektoren müssen wir dagegen Betrag und Richtung berücksichtigen.
Geht jemand zum Beispiel nach Osten und anschließend nach Westen, entsteht eine andere Verschiebung als bei nach Osten und weiteren nach Osten. Das Ergebnis einer Vektoraddition heißt resultierender Vektor oder kurz Resultierende.
Bei der Dreiecksmethode werden die Vektorpfeile hintereinander angeordnet:
Für die aufeinanderfolgenden Vektoren und gilt:
Die Vektoraddition ist kommutativ:
Beim Parallelogrammverfahren beginnen beide Vektoren am selben Punkt:
Die gemeinsame Diagonale zeigt auch die Kommutativität: Die Reihenfolge der beiden Summanden ändert das Ergebnis nicht.
Mit dem Polygonverfahren lassen sich mehr als zwei Vektoren addieren. Dabei beginnt jeder neue Vektor an der Spitze des vorherigen. Die Resultierende verbindet den Anfangspunkt des ersten mit der Spitze des letzten Vektors.
Die Vektoraddition ist außerdem assoziativ:
Auch das Parallelogrammverfahren kann schrittweise auf drei Vektoren angewendet werden:
Neben den grafischen Verfahren können wir Vektoren komponentenweise addieren. In einem Koordinatensystem wird dabei jede Achsenkomponente getrennt verrechnet.
Für und gilt:
Beispiel:
Die komponentenweise Rechnung liefert dieselbe Resultierende wie die grafischen Verfahren.
Beim Überqueren eines Flusses überlagern sich die Fahrt des Bootes und die Strömung:
Die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer ist die Vektorsumme aus seiner Geschwindigkeit relativ zum Wasser und der Strömung relativ zum Ufer. Auch die Verschiebungen einer Reise lassen sich addieren, um die Gesamtverschiebung zu erhalten. Diese Resultierende liefert jedoch weder die Länge der zurückgelegten Route noch automatisch den kürzesten Weg.
Sowohl die Skalaraddition als auch die Vektoraddition liefern für feste Eingaben genau ein Ergebnis. Skalare besitzen nur einen Zahlenwert, Vektoren zusätzlich eine Richtung. Eine geänderte Richtung ist deshalb eine geänderte Eingabe und kann eine andere Resultierende ergeben.
Beispiel für Skalaraddition:
Für Zucker gilt .
Beispiel für Vektoraddition:
Für gleichgerichtete Verschiebungen gilt . Bei entgegengesetzten Richtungen ergibt sich .
Mit dem Konzept der Vektoraddition können wir verschiedene physikalische Phänomene analysieren, an denen Vektorgrößen wie Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft beteiligt sind.