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Geht jemand zum Beispiel nach Osten und anschließend nach Westen, entsteht eine andere Verschiebung als bei nach Osten und weiteren nach Osten. Das Ergebnis einer Vektoraddition heißt resultierender Vektor oder kurz Resultierende.
Bei der Dreiecksmethode werden die Vektorpfeile hintereinander angeordnet:
Für die aufeinanderfolgenden Vektoren und gilt:
Die Vektoraddition ist kommutativ:
Beim Parallelogrammverfahren beginnen beide Vektoren am selben Punkt:
Die gemeinsame Diagonale zeigt auch die Kommutativität: Die Reihenfolge der beiden Summanden ändert das Ergebnis nicht.
Mit dem Polygonverfahren lassen sich mehr als zwei Vektoren addieren. Dabei beginnt jeder neue Vektor an der Spitze des vorherigen. Die Resultierende verbindet den Anfangspunkt des ersten mit der Spitze des letzten Vektors.
Die Vektoraddition ist außerdem assoziativ:
Auch das Parallelogrammverfahren kann schrittweise auf drei Vektoren angewendet werden:
Die beiden folgenden Darstellungen verwenden , und . Die Zwischenresultierenden sind und . Beide Gruppierungen ergeben .
Addiere Komponenten derselben Achse. Waagerechte Komponenten gehören zusammen, ebenso die senkrechten.
Für und gilt:
Beispiel:
Die komponentenweise Rechnung liefert dieselbe Resultierende wie die grafischen Verfahren.
Beim Überqueren eines Flusses überlagern sich die Fahrt des Bootes und die Strömung:
Im Diagramm zeigt die waagerechte Achse entlang der Strömung und die senkrechte Achse quer über den Fluss. Die Bootsgeschwindigkeit relativ zum Wasser sei , die Strömungsgeschwindigkeit . Durch Addition der Komponenten erhältst du die Geschwindigkeit relativ zum Ufer:
Das Boot fährt über den Fluss und wird gleichzeitig von der Strömung versetzt. Sein Geschwindigkeitsbetrag relativ zum Ufer ist , nicht , weil die beiden Geschwindigkeiten senkrecht aufeinander stehen.
Auch die Verschiebungen einer Reise lassen sich addieren. Ihre Resultierende gibt die Gesamtverschiebung an. Die Routenlänge und der kürzeste Weg müssen aus dem Reiseweg bestimmt werden.
Sowohl die Skalaraddition als auch die Vektoraddition liefern für feste Eingaben genau ein Ergebnis. Skalare besitzen nur einen Zahlenwert, Vektoren ungleich null zusätzlich eine Richtung. Eine geänderte Richtung ist deshalb eine geänderte Eingabe und kann eine andere Resultierende ergeben.
Beispiel für Skalaraddition:
Für Zucker gilt .
Beispiel für Vektoraddition:
Für gleichgerichtete Verschiebungen gilt . Bei entgegengesetzten Richtungen ergibt sich .
Mit der Vektoraddition werden resultierende Verschiebungen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kräfte berechnet.
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