Einheitsvektor zu einem Vektor

Einen Vektor bei gleicher Richtung auf Länge eins bringen

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1 \text{ Einheit}$. Er beschreibt eine Richtung, ohne den ursprünglichen Betrag mitzunehmen. Aus jedem Vektor ungleich null erhalten wir einen Einheitsvektor in derselben Richtung, indem wir den Vektor durch seinen Betrag teilen.

Formel und Richtung eines Einheitsvektors

Betrachten wir den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Sein Einheitsvektor entsteht, indem wir $\overrightarrow{PQ}$ durch den Betrag von $\overrightarrow{PQ}$ teilen.

Der Nenner $|\overrightarrow{PQ}|$ ist der Betrag von $\overrightarrow{PQ}$ und muss größer als null sein. Zum Nullvektor gibt es keinen zugehörigen Einheitsvektor, weil die Division durch null nicht definiert ist.

Der Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor, hat aber den normierten Betrag $1 \text{ Einheit}$.

Berechnung eines Einheitsvektors

Teilst du einen Vektor ungleich null durch seinen Betrag, bleibt seine Richtung erhalten und der Betrag wird eins. Ein ursprünglich längerer Vektor wird verkürzt. Ein Vektor mit einem Betrag kleiner als eins wird vergrößert.

1. Bestimme den ursprünglichen Vektor
2. Berechne seinen Betrag
3. Teile den Vektor durch seinen Betrag

Einen dreidimensionalen Vektor normieren

Gegeben ist der Vektor $\vec{v} = (3, 6, 4)$.

Zuerst berechnen wir seinen Betrag:

Anschließend teilen wir den Vektor durch diesen Betrag:

Damit erhalten wir:

Länge und Komponenten eines Einheitsvektors

Das Kennzeichen eines Einheitsvektors ist seine Länge eins, und diese Länge bindet seine Komponenten aneinander. Die Summe der Komponentenquadrate ergibt eins, und diese Gleichung bestimmt den Schritt von einem Vektor ungleich null zu seinem Einheitsvektor.

Betrag eines Einheitsvektors

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1$. Addiere im Beispiel zuerst die Quadrate der drei Koordinaten. Ein Betrag ist nicht negativ. Zum Schluss nimmst du daher die positive Quadratwurzel.

Einheitsvektoren auf Koordinatenachsen

Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es drei Standardeinheitsvektoren, die jeweils in die positive Richtung einer Koordinatenachse zeigen:

• $\hat{\imath}$ ist der Einheitsvektor in positiver $x$-Richtung
• $\hat{\jmath}$ ist der Einheitsvektor in positiver $y$-Richtung
• $\hat{k}$ ist der Einheitsvektor in positiver $z$-Richtung

Jeder Vektor in $\mathbb{R}^3$ kann als lineare Kombination dieser drei Einheitsvektoren ausgedrückt werden.

Eine Richtung mit einem Einheitsvektor angeben

Ein Einheitsvektor trennt die Richtung vom Betrag, sodass sich die Richtung allein angeben lässt. Zwei Vektoren mit derselben Richtung teilen sich einen Einheitsvektor, und damit ist der Einheitsvektor eine kurze Schreibweise für diese Richtung.

Eine Richtung angeben

Einheitsvektoren beschreiben eine Richtung unabhängig vom Betrag. In der Physik geben sie zum Beispiel die Richtung einer Kraft, Geschwindigkeit oder Beschleunigung an. Der Betrag bleibt dabei als eigener Faktor stehen, sodass du Richtung und Länge getrennt behandeln kannst.

Physikalische Berechnungen

Eine Kraft habe eine Komponente von $3\text{ N}$ in positiver $x$-Richtung und eine Komponente von $-4\text{ N}$ entlang der $y$-Achse. Das Minuszeichen gibt die Richtung entgegen der positiven Achse an. Den Betrag der Kraft berechnen wir aus beiden Komponenten:

Der Einheitsvektor trägt keine Einheit Newton, weil sich die Einheiten im Zähler und Nenner kürzen. Multiplizierst du die Richtung mit dem Kraftbetrag, erhältst du die ursprünglichen Komponenten zurück: