Vektoraddition

Beim Addieren von Verschiebungen die Richtung berücksichtigen

Bei der Addition von Skalaren spielt nur ihr Zahlenwert eine Rolle. So ergeben $2 \text{ kg}$ Zucker und $3 \text{ kg}$ Zucker zusammen $5 \text{ kg}$ Zucker. Bei Vektoren müssen wir dagegen Betrag und Richtung berücksichtigen.

Geht jemand zum Beispiel $2 \text{ m}$ nach Osten und anschließend $3 \text{ m}$ nach Westen, entsteht eine andere Verschiebung als bei $2 \text{ m}$ nach Osten und weiteren $3 \text{ m}$ nach Osten. Das Ergebnis einer Vektoraddition heißt resultierender Vektor oder kurz Resultierende.

Vektoraddition mit der Dreiecksmethode

Bei der Dreiecksmethode werden die Vektorpfeile hintereinander angeordnet:

1. Zeichne den ersten Vektor $\vec{a}$
2. Verschiebe den zweiten Vektor $\vec{b}$ parallel, bis sein Anfangspunkt an der Spitze des ersten liegt
3. Die Resultierende verbindet den Anfangspunkt des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten

Für die aufeinanderfolgenden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ gilt:

Die Vektoraddition ist kommutativ:

Vektoraddition mit der Parallelogrammmethode

Beim Parallelogrammverfahren beginnen beide Vektoren am selben Punkt:

1. Zeichne beide Vektoren mit gemeinsamem Anfangspunkt
2. Ergänze die beiden Vektoren zu einem Parallelogramm
3. Die vom gemeinsamen Anfangspunkt ausgehende Diagonale ist die Resultierende

Die gemeinsame Diagonale zeigt auch die Kommutativität: Die Reihenfolge der beiden Summanden ändert das Ergebnis nicht.

Addition mit der Polygonmethode

Mit dem Polygonverfahren lassen sich mehr als zwei Vektoren addieren. Dabei beginnt jeder neue Vektor an der Spitze des vorherigen. Die Resultierende verbindet den Anfangspunkt des ersten mit der Spitze des letzten Vektors.

Die Vektoraddition ist außerdem assoziativ:

Auch das Parallelogrammverfahren kann schrittweise auf drei Vektoren angewendet werden:

1. Addiere zuerst zwei Vektoren zur Zwischenresultierenden $R_1$
2. Addiere $R_1$ und den dritten Vektor zur endgültigen Resultierenden $R_2$

Die beiden folgenden Darstellungen verwenden $A=(3,1,0)$, $B=(1,3,0)$ und $C=(0,1,3)$. Die Zwischenresultierenden sind $B+C=(1,4,3)$ und $A+B=(4,4,0)$. Beide Gruppierungen ergeben $A+B+C=(4,5,3)$.

Vektoraddition mit Komponenten

Addiere Komponenten derselben Achse. Waagerechte Komponenten gehören zusammen, ebenso die senkrechten.

Für $\vec{a} = (a_x, a_y)$ und $\vec{b} = (b_x, b_y)$ gilt:

Beispiel:

Die komponentenweise Rechnung liefert dieselbe Resultierende wie die grafischen Verfahren.

Ein Boot überquert einen Fluss

Beim Überqueren eines Flusses überlagern sich die Fahrt des Bootes und die Strömung:

1. Ist die Strömungsgeschwindigkeit null, entspricht die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer seiner Geschwindigkeit relativ zum Wasser
2. Ist die Strömungsgeschwindigkeit nicht null, ist die Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer die Vektorsumme aus seiner Geschwindigkeit relativ zum Wasser und der Strömungsgeschwindigkeit. Ob sich Richtung, Betrag oder beides ändern, hängt von der Strömungsrichtung ab

Im Diagramm zeigt die waagerechte Achse entlang der Strömung und die senkrechte Achse quer über den Fluss. Die Bootsgeschwindigkeit relativ zum Wasser sei $(0,4)\,\text{m/s}$, die Strömungsgeschwindigkeit $(3,0)\,\text{m/s}$. Durch Addition der Komponenten erhältst du die Geschwindigkeit relativ zum Ufer:

Das Boot fährt über den Fluss und wird gleichzeitig von der Strömung versetzt. Sein Geschwindigkeitsbetrag relativ zum Ufer ist $5\,\text{m/s}$, nicht $4+3=7\,\text{m/s}$, weil die beiden Geschwindigkeiten senkrecht aufeinander stehen.

Auch die Verschiebungen einer Reise lassen sich addieren. Ihre Resultierende gibt die Gesamtverschiebung an. Die Routenlänge und der kürzeste Weg müssen aus dem Reiseweg bestimmt werden.

Unterschied zwischen Skalaraddition und Vektoraddition

Sowohl die Skalaraddition als auch die Vektoraddition liefern für feste Eingaben genau ein Ergebnis. Skalare besitzen nur einen Zahlenwert, Vektoren ungleich null zusätzlich eine Richtung. Eine geänderte Richtung ist deshalb eine geänderte Eingabe und kann eine andere Resultierende ergeben.

Beispiel für Skalaraddition:

Für Zucker gilt $3 \text{ kg} + 4 \text{ kg} = 7 \text{ kg}$.

Beispiel für Vektoraddition:

Für gleichgerichtete Verschiebungen gilt $3 \text{ m nach Osten} + 4 \text{ m nach Osten} = 7 \text{ m nach Osten}$. Bei entgegengesetzten Richtungen ergibt sich $3 \text{ m nach Osten} + 4 \text{ m nach Westen} = 1 \text{ m nach Westen}$.

Mit der Vektoraddition werden resultierende Verschiebungen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kräfte berechnet.