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Jeder Vektor in der Koordinatenebene lässt sich entlang der beiden Koordinatenachsen zerlegen. In sind die vorzeichenbehafteten Zahlen und die skalaren Komponenten. Die Vektoren und sind die zugehörigen Vektorkomponenten, also die orthogonalen Projektionen auf die Achsen.
Die skalaren Komponenten geben an, wie weit und in welche vorzeichenbehaftete Richtung der Vektor entlang der - und -Achse reicht. Jeder Vektor in der Ebene ist eine Linearkombination der Einheitsvektoren und .
Für den Vektor gilt:
dabei gilt:
Betrachten wir den Vektor in der Abbildung. Er lässt sich so schreiben:
Der Vektor besitzt also die skalaren Komponenten und sowie die Vektorprojektionen nach rechts und nach oben.
Sind die Komponenten bekannt, liefert der Satz des Pythagoras die Länge oder den Betrag des Vektors.
Der Betrag des Vektors wird mit bezeichnet und mit der Formel berechnet:
Dabei sind und die Komponenten des Vektors.
Für den Vektor ergibt sich:
Der Betrag von ist somit .
Vektoren sind nicht auf eine Ebene (zwei Dimensionen) beschränkt, sondern können auch auf den dreidimensionalen Raum ausgedehnt werden.
Im dreidimensionalen Raum besitzt ein Vektor je eine Komponente entlang der drei Koordinatenachsen. Er lässt sich so schreiben:
dabei gilt:
Der Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum wird nach folgender Formel berechnet:
Die Richtung eines Vektors ungleich null lässt sich mit einem Einheitsvektor darstellen. Ein Einheitsvektor hat den Betrag . Wir erhalten ihn, indem wir den Vektor ungleich null durch seinen Betrag teilen.
Den Einheitsrichtungsvektor von bezeichnen wir mit . Er wird so berechnet:
Für den Vektor mit dem Betrag lautet der Einheitsvektor:
Dieser Einheitsvektor gibt die Richtung des Vektors unabhängig von seiner Größe an.
Vektorkomponenten haben im Alltag viele Anwendungen, wie zum Beispiel:
Durch das Verständnis von Vektorkomponenten können wir verschiedene Probleme im Zusammenhang mit Richtung und Größe in der Mathematik und anderen angewandten Wissenschaften analysieren.
