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Die skalaren Komponenten geben an, wie weit und in welche vorzeichenbehaftete Richtung der Vektor entlang der - und -Achse reicht. Jeder Vektor in der Ebene ist eine Linearkombination der Einheitsvektoren und .
Für den Vektor gilt:
Die Komponenten in dieser Form bedeuten:
Betrachten wir den Vektor im Diagramm. Er lässt sich so schreiben:
Der Vektor besitzt also die skalaren Komponenten und sowie die Vektorprojektionen nach rechts und nach oben.
Sind die Komponenten bekannt, liefert der Satz des Pythagoras die Länge oder den Betrag des Vektors.
Der Betrag des Vektors wird mit bezeichnet und mit der Formel berechnet:
In dieser Formel sind und die Komponenten von .
Bilde die Summe der Komponentenquadrate und ziehe anschließend die positive Quadratwurzel für den Betrag.
Für den Vektor ergibt sich:
Vektoren lassen sich in einer zweidimensionalen Ebene und im dreidimensionalen Raum verwenden.
Im dreidimensionalen Raum besitzt ein Vektor je eine Komponente entlang der drei Koordinatenachsen. Er lässt sich so schreiben:
Die Komponenten in dieser Form bedeuten:
Der Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum wird nach folgender Formel berechnet:
Die Richtung eines Vektors ungleich null lässt sich mit einem Einheitsvektor darstellen. Ein Einheitsvektor hat den Betrag . Wir erhalten ihn, indem wir den Vektor ungleich null durch seinen Betrag teilen.
Den Einheitsrichtungsvektor von bezeichnen wir mit . Er wird so berechnet:
Für den Vektor mit dem Betrag lautet der Einheitsvektor:
Dieser Einheitsvektor gibt die Richtung des Vektors unabhängig von seiner Größe an.
Die Zerlegung eines Vektors entlang gewählter Achsen wird für folgende Berechnungen verwendet:
Vektorkomponenten trennen Betrag und Richtung entlang der gewählten Achsen. Dadurch kann jede Achse einzeln berechnet werden, bevor die Ergebnisse wieder zusammengeführt werden.
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