Vektorkomponenten

Einen Vektor auf die Koordinatenachsen projizieren

Jeder Vektor in der Koordinatenebene lässt sich $entlang der beiden Koordinatenachsen zerlegen$ . In $\vec{v}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}$ sind die vorzeichenbehafteten Zahlen $a$ und $b$ die skalaren Komponenten. Die Vektoren $a\mathbf{i}$ und $b\mathbf{j}$ sind die zugehörigen Vektorkomponenten, also die orthogonalen Projektionen auf die Achsen.

Die skalaren Komponenten geben an, wie weit und in welche vorzeichenbehaftete Richtung der Vektor entlang der $x$ - und $y$ -Achse reicht. Jeder Vektor in der Ebene ist eine Linearkombination der Einheitsvektoren $\mathbf{i}$ und $\mathbf{j}$ .

Vektorvisualisierung und ihre Komponenten

Der Vektor

AB

und seine Komponenten auf der

x

- und

y

-Achse, bei einer

z

-Komponente von null.

Für den Vektor $\overrightarrow{AB}$ gilt:

\overrightarrow{AB} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j}

Die Komponenten in dieser Form bedeuten:

$a$ ist die horizontale skalare Komponente und $a\mathbf{i}$ die zugehörige Vektorprojektion
$b$ ist die vertikale skalare Komponente und $b\mathbf{j}$ die zugehörige Vektorprojektion
$\mathbf{i}$ ist der Einheitsvektor entlang der $x$ -Achse
$\mathbf{j}$ ist der Einheitsvektor entlang der $y$ -Achse

Beispiel für Vektorkomponenten

Betrachten wir den Vektor $\overrightarrow{AB}$ im Diagramm. Er lässt sich so schreiben:

\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ besitzt also die skalaren Komponenten $6$ und $8$ sowie die $Vektorprojektionen$ $6\mathbf{i}$ nach rechts und $8\mathbf{j}$ nach oben.

Betrag aus den Komponenten berechnen

Sind die Komponenten bekannt, liefert der $Satz des Pythagoras$ die Länge oder den Betrag des Vektors.

Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{AB}$ wird mit $|\overrightarrow{AB}|$ bezeichnet und mit der Formel berechnet:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + b^2}

In dieser Formel sind $a$ und $b$ die Komponenten von $\overrightarrow{AB}$ .

Beispiel für die Betragsberechnung

Bilde die $Summe der Komponentenquadrate$ und ziehe anschließend die positive Quadratwurzel für den Betrag.

Für den Vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ ergibt sich:

\begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Vektoren im dreidimensionalen Raum

Vektoren lassen sich in einer zweidimensionalen Ebene und im dreidimensionalen Raum verwenden.

Vektoren im 3D-Raum

Visualisierung eines Vektors und seiner Komponenten im dreidimensionalen Raum.

Im dreidimensionalen Raum besitzt ein Vektor je eine Komponente entlang der $drei Koordinatenachsen$ . Er lässt sich so schreiben:

\vec{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}

Die Komponenten in dieser Form bedeuten:

$a$ ist die skalare Komponente entlang der $x$ -Achse, $a\mathbf{i}$ die zugehörige Vektorprojektion
$b$ ist die skalare Komponente entlang der $y$ -Achse, $b\mathbf{j}$ die zugehörige Vektorprojektion
$c$ ist die skalare Komponente entlang der $z$ -Achse, $c\mathbf{k}$ die zugehörige Vektorprojektion
$\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ und $\mathbf{k}$ sind Einheitsvektoren in Richtung der Achsen $x$ , $y$ und $z$

Der Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum wird nach folgender Formel berechnet:

|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Einheitsrichtungsvektor

Die Richtung eines Vektors ungleich null lässt sich mit einem Einheitsvektor darstellen. Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1 \text{ Einheit}$ . Wir erhalten ihn, indem wir $den Vektor ungleich null durch seinen Betrag teilen$ .

Den Einheitsrichtungsvektor von $\overrightarrow{AB}$ bezeichnen wir mit $\mathbf{u}_{AB}$ . Er wird so berechnet:

\mathbf{u}_{AB} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}

Beispiel für einen Einheitsrichtungsvektor

Für den Vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ mit dem Betrag $10$ lautet der Einheitsvektor:

\begin{aligned} \mathbf{u}_{AB} &= \frac{6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}}{10} \\ &= \frac{6}{10}\mathbf{i} + \frac{8}{10}\mathbf{j} \\ &= 0{,}6\mathbf{i} + 0{,}8\mathbf{j} \end{aligned}

Dieser Einheitsvektor gibt die Richtung des Vektors $\overrightarrow{AB}$ $unabhängig von seiner Größe$ an.

Anwendungen von Vektorkomponenten

Die Zerlegung eines Vektors entlang gewählter Achsen wird für folgende Berechnungen verwendet:

Berechnung von Geschwindigkeit und Verschiebung in der Physik
Kräfte in der Mechanik analysieren
Bestimmen der Richtung und Größe der Resultierenden bei der Objektbewegung
Navigation und Positionsbestimmung in Koordinatensystemen

Vektorkomponenten trennen Betrag und Richtung entlang der gewählten Achsen. Dadurch kann $jede Achse einzeln$ berechnet werden, bevor die Ergebnisse wieder zusammengeführt werden.

Einen Vektor auf die Koordinatenachsen projizieren

Vektorvisualisierung und ihre Komponenten

Der Vektor

AB

und seine Komponenten auf der

x

- und

y

-Achse, bei einer

z

-Komponente von null.

Für den Vektor $\overrightarrow{AB}$ gilt:

\overrightarrow{AB} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j}

Die Komponenten in dieser Form bedeuten:

$a$ ist die horizontale skalare Komponente und $a\mathbf{i}$ die zugehörige Vektorprojektion
$b$ ist die vertikale skalare Komponente und $b\mathbf{j}$ die zugehörige Vektorprojektion
$\mathbf{i}$ ist der Einheitsvektor entlang der $x$ -Achse
$\mathbf{j}$ ist der Einheitsvektor entlang der $y$ -Achse

Beispiel für Vektorkomponenten

Betrachten wir den Vektor $\overrightarrow{AB}$ im Diagramm. Er lässt sich so schreiben:

\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ besitzt also die skalaren Komponenten $6$ und $8$ sowie die $Vektorprojektionen$ $6\mathbf{i}$ nach rechts und $8\mathbf{j}$ nach oben.

Betrag aus den Komponenten berechnen

Sind die Komponenten bekannt, liefert der $Satz des Pythagoras$ die Länge oder den Betrag des Vektors.

Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{AB}$ wird mit $|\overrightarrow{AB}|$ bezeichnet und mit der Formel berechnet:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + b^2}

In dieser Formel sind $a$ und $b$ die Komponenten von $\overrightarrow{AB}$ .

Beispiel für die Betragsberechnung

Bilde die $Summe der Komponentenquadrate$ und ziehe anschließend die positive Quadratwurzel für den Betrag.

Für den Vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ ergibt sich:

\begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Vektoren im dreidimensionalen Raum

Vektoren lassen sich in einer zweidimensionalen Ebene und im dreidimensionalen Raum verwenden.

Vektoren im 3D-Raum

Visualisierung eines Vektors und seiner Komponenten im dreidimensionalen Raum.

Im dreidimensionalen Raum besitzt ein Vektor je eine Komponente entlang der $drei Koordinatenachsen$ . Er lässt sich so schreiben:

\vec{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}

Die Komponenten in dieser Form bedeuten:

$a$ ist die skalare Komponente entlang der $x$ -Achse, $a\mathbf{i}$ die zugehörige Vektorprojektion
$b$ ist die skalare Komponente entlang der $y$ -Achse, $b\mathbf{j}$ die zugehörige Vektorprojektion
$c$ ist die skalare Komponente entlang der $z$ -Achse, $c\mathbf{k}$ die zugehörige Vektorprojektion
$\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ und $\mathbf{k}$ sind Einheitsvektoren in Richtung der Achsen $x$ , $y$ und $z$

Der Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum wird nach folgender Formel berechnet:

|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Einheitsrichtungsvektor

Den Einheitsrichtungsvektor von $\overrightarrow{AB}$ bezeichnen wir mit $\mathbf{u}_{AB}$ . Er wird so berechnet:

\mathbf{u}_{AB} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}

Beispiel für einen Einheitsrichtungsvektor

Für den Vektor $\overrightarrow{AB} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$ mit dem Betrag $10$ lautet der Einheitsvektor:

\begin{aligned} \mathbf{u}_{AB} &= \frac{6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}}{10} \\ &= \frac{6}{10}\mathbf{i} + \frac{8}{10}\mathbf{j} \\ &= 0{,}6\mathbf{i} + 0{,}8\mathbf{j} \end{aligned}

Dieser Einheitsvektor gibt die Richtung des Vektors $\overrightarrow{AB}$ $unabhängig von seiner Größe$ an.

Anwendungen von Vektorkomponenten

Die Zerlegung eines Vektors entlang gewählter Achsen wird für folgende Berechnungen verwendet:

Berechnung von Geschwindigkeit und Verschiebung in der Physik
Kräfte in der Mechanik analysieren
Bestimmen der Richtung und Größe der Resultierenden bei der Objektbewegung
Navigation und Positionsbestimmung in Koordinatensystemen

Vektorkomponenten trennen Betrag und Richtung entlang der gewählten Achsen. Dadurch kann $jede Achse einzeln$ berechnet werden, bevor die Ergebnisse wieder zusammengeführt werden.